Открытие без границ. Бесконечность в математике

С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее понятие счётности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.

Кардинальные числа

Кантор столкнулся с проблемой подсчёта бесконечности. Ранее потенциальная бесконечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или последовательности всё новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести понятие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность как ещё одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и полностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой подсчёт совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было, во-первых, чётко определить, что понимается под совокупностью объектов, и, во-вторых, дать математическое определение подсчёту объектов совокупности.

Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил её, что дало возможность вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.

Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых выдающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой теории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы науки. Анри Пуанкаре (1854–1912) как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная фраза отражает важную истину: конечная цель, к которой стремятся математики, — обобщение.

Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать чёткое определение актуальной бесконечности.

Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.

Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу:

«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идёт о фундаментальном понятии.

* * *

СЧЁТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ

Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространённой точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)

* * *