Открытие без границ

Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень точно характеризует их природу. Однако более серьезная проблема заключается в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чисел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что открытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории греческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвященные, одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.

Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная разница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 = = 0,333333333 … — в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков, однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.

Число вида

325/100 = 3,25

имеет всего два десятичных знака.

95/99 = 0,4545

имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз (эта группа цифр называется периодом).

47113/9000 = 5,2347777

представляет собой еще один вид десятичных дробей, в записи которых период появляется после непериодической части.

Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение √2? Ответ: нам известно лишь его приближенное значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.

Британский математик Брук Тейлор (1685–1731) вычислил приближенное значение √2 при помощи последовательности сумм:

Члены этой последовательности постепенно сходятся к √2 поочередно слева и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения первых девяти членов.

Таким образом, начав с 1 — оценки √2 слева и 1,5 — оценки справа, мы постепенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идет о бесконечных последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению √2, однако утверждать, что √2 — конкретное число, означает признать существование актуальной бесконечности.

Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверенным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.

Квантовый скачок

Рассмотрим, как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконечное продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много частей). Допустим, что даны две параллельные прямые r и r'.

Обозначим на первой точку Р, которую будем использовать как начало отсчета. Теперь отметим на второй прямой точку Q, расположенную, например, на перпендикуляре, проведенном к r через точку Р. Угол между отрезком PQ и r' равен 90° (прямой угол). Переместим точку Q, которая находится на прямой r', вправо.

Заметим, что угол α изменился, и по мере того, как мы перемещаем точку Q все дальше вправо, он постепенно уменьшается. Очевидно, что чем дальше точка Q, тем меньше угол α. Бесконечное продолжение прямой, вызванное движением точки Q, неразрывно связано с непрерывным уменьшением угла до сколь угодно малых значений. Если говорить простым языком, можно сказать, что одно становится бесконечно большим, а другое одновременно — бесконечно малым. Здесь важно отметить следующее: точка Q смещается вправо по прямой r непрерывно, и угол уменьшается также непрерывно.

Рассмотрим ситуацию с иной точки зрения. Будем уменьшать угол и наблюдать за тем, как точка Q удаляется в бесконечность. Расстояние от точки Q до прямой r сохраняется и равно расстоянию между двумя параллельными прямыми. Ключевой вопрос звучит так: что произойдет, когда угол, образуемый отрезком PQ и прямой r, станет равен нулю? Ответ таков: точка Q станет бесконечно удаленной, причем не произвольной, а такой, в которой обе прямые сойдутся. Пока что все в порядке, но переход к бесконечности вновь оказался болезненным. Потенциальная бесконечность, которую мы себе представляли, стала актуальной бесконечностью, и мы получили удивительный результат: расстояние от точки Q до прямой r вдруг стало равным нулю.