Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике

Прежде, чем использовать пробит-регрессию и логит-регрессию для прогнозирования или анализа, необходимо проверить значимость вычисленных коэффициентов пробит и логит регрессий и моделей регрессии в целом. Подобная проверка осуществляется с помощью величины (l1-l0), где параметр l1 соответствует максимально правдоподобной оценке основной модели регрессии, а параметр l0 – оценка нулевой модели регрессии, т. е. yi=0.

При проверке значимости коэффициентов пробит или логит-регрессии выдвигается основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов:

H0:1=2=…=k=0.

Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:

H1:1/=2/=…/=k/=0.

Для проверки выдвинутых гипотез рассчитывается величина H=-2(l1–l0), которая распределена по 2закону распределения с k степенями свободы.

Критическое значение 2-критерия определяется по таблице по 2распределения в зависимости от заданного значения вероятности а и степени свободы k.

При проверке гипотез возможны следующие ситуации:

Если величина H больше критического значение 2-критерия, т.е.

то основная гипотеза отвергается, и коэффициенты модели регрессии являются значимыми. Следовательно, модель пробит или логит-регрессии также является значимой.

Если величина H меньше критического значение 2-критерия, т. е.

то основная гипотеза принимается, и коэффициенты модели регрессии являются незначимыми. Следовательно, модель пробит или логит-регрессии также является незначимой.

Оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, полученные методом максимума правдоподобия, удовлетворяют следующему утверждению.

Пусть – это элемент, принадлежащий заданному пространству А. Если А является открытым интервалом, а функция L дифференцируема и достигает максимума в заданном интервале A, то оценки максимального правдоподобия удовлетворяют равенству вида:

Докажем данное утверждение на примере модели логит-регрессии.

Функция максимального правдоподобия для модели логит-регрессии имеет вид:

Продифференцируем полученную функцию по параметру :

Следовательно, утверждение можно считать доказанным.

В том случае, если для модели регрессии справедливы предпосылки нормальной линейной модели регрессии, то оценки неизвестных коэффициентов, полученные с помощью метода наименьших квадратов, и оценки, полученные с помощью метода максимума правдоподобия, будут совпадать.

57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии

Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:

i=yi–0–1x1i–…–mxmi

В связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается выборочная оценка случайной ошибки модели регрессии по формуле:

где ei – остатки модели регрессии.

Термин гетероскедастичность в широком смысле понимается как предположение о дисперсии случайных ошибок модели регрессии.

При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:

6) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Второе условие

означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.

Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки i является известной постоянной величиной для всех наблюдений.

Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки i или остатков модели регрессии ei выполняется не всегда.

Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:

Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:

Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии i подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2:

i~N(0; G2),

где – матрица ковариаций случайной ошибки.

Если дисперсии случайных ошибок

модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.

Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.