Параллельный перенос вектора. Критика

Если вектор v₀ (рис. 35) сначала параллельно переносится из точки A в точку B, а затем в точку D, то в результате мы получим вектор v₁, если параллельный перенос вектора v₀ совершается от точки A к точке D через точку C, то результатом переноса будет вектор v₂. Параллельный перенос вектора вдоль пути, состоящего из отрезков прямых (ломаная линия), в конце концов возвращающихся в исходную точку (замкнутая ломаная), приводит к новому вектору в начальной точке; этот новый вектор отнюдь не совпадает с исходным, хотя при переносе вектора по всем сегментам петли мы нигде не нарушили правил параллельного переноса" [1, с.62].

Численно величина кривизны многообразия (пространства) может быть выражена через конкретные числовые параметры параллельного переноса:

"Кривизна многообразия сама по себе выражается через изменение направления вектора, возникающее при параллельном переносе вектора по небольшому замкнутому контуру. … численное значение кривизны многообразия можно выразить через изменение направления вектора (в градусах) на единицу площади, охватываемой замкнутым контуром, по которому совершается обход" [1, с.82].

Как вариант, объективным, количественным показателем кривизны пространства может быть величина, пропорциональная площади контура, по которому производится параллельный перенос вектора:

"В искривленном пространстве начальное и конечное направление вектора не совпадают, причем отличие δA будет прямо пропорционально площади контура δS" [2, с.54].

В работе [3, с.59] в достаточно общем, формальном виде приводятся определения понятий параллельного переноса вектора и понятия кривизны – тензора кривизны или тензора Римана. Отмечено, что задача о параллельном переносе и определении кривизны является корректной и имеет однозначное решение.

Следует возразить: при всей корректности, однозначности и точности аналитических выкладок, они все-таки недостаточно наглядны. Вместе с тем, это весьма важное обстоятельство, поскольку в графических иллюстрациях можно заметить некоторое несоответствие с аналитикой. Действительно, при анализе рис.35 к приведенной выше цитате сразу же возникает вопрос: почему при движении вектора из точки A в точку C его направление резко изменилось визуально? По известным соображениям мы должны считать две дуги AD и CB параллельными, как находящиеся на римановой, сферической поверхности положительной кривизны. И заметим кстати, что на карте Земли (глобусе), как это ни странно звучит, параллельными на самом деле являются меридианы, а не параллели, которые являются просто кривыми линиями.

В качестве наиболее наглядной демонстрации такого изменения направления вектора при параллельном переносе обычно приводится перенос вектора на поверхности сферы. В этом случае роль прямой играют дуги больших кругов сферы, получаемые сечением сферы плоскостью, проходящей через её центр. Во всех таких примерах наглядно демонстрируется, что при параллельном переносе вектора по поверхности сферы в исходную точку его направление не совпадает с направлением исходного вектора.

Рассмотрим один из таких примеров параллельного переноса вектора на поверхности сферы, ожидая, что в нем никаких неясностей, неопределенностей нет.

"На рисунке начальное положение вектора обозначено цифрой 1 (северный полюс). Он обносится параллельным образом (положения 2, 3, …) вокруг сферического треугольника, все углы которого равны 90^o. По возвращении в исходную точку вектор (положение 4) оказывается повернутым на 90^o:

(положительна; направление поворота совпадает с направлением обхода) [8, т.1, с.412]".

Рис.1. Паралельный перенос вектора [8, т.1, с.412]

Гауссова кривизна γ_G в рассмотренном случае сферической поверхности определена как отношение площади, обойденной вектором, к углу поворота вектора, когда он вернулся в исходную точку [8, т.1, с.412]. В примере с треугольным контуром, действительно, получается вполне осмысленная величина кривизны – 1/a², где а – радиус сферы:

Как видим, и в этом случае при обходе по замкнутому контуру результирующий вектор не совпал по направлению с исходным. Хотя на рисунке это не очень заметно, но в предпоследней точке 3 направление вектора в точности совпадает с последним направлением 4 при обходе треугольника. Тем не менее, и в данном случае возникает вопрос по изображению векторов. Судя по всему, векторы в точках 2 и 3 направлены точно по сторонам треугольника, то есть, по определению параллельны друг другу. Однако они изображены слишком короткими отрезками, поэтому на рисунке не совсем ясно, лежат ли они на поверхности сферы? На плоском пространстве поверхности сферы возможны лишь векторы, полностью совпадающие с этой поверхностью.