Первооткрыватели. 100 научных сказок

– Именно по такому пути и пошёл Лейбниц, придумав дифференциальное исчисление: для измерения скорости кареты он взял бесконечно малый отрезок пути S, который предложил обозначить как dS, и разделил его на бесконечно малый отрезок времени t, который записал как dt. Получилось, что скорость кареты V = dS/dt, или dS, делённая на dt.

Обозначения Лейбница до сих пор широко используются в науке.

– Это все очевидно. А где новая область математики? – поинтересовался Андрей.

– Это и есть новая математика: величи́ны dS и dt называются дифференциалами от пути и времени, отношение dS/dt – производной от пути по времени, а сам процесс взятия производной – дифференцированием.

– И такие простые вещи называются сверхважным открытием? – удивилась Галатея.

– Конечно! Потому что мы научились работать не с числами, а с их изменениями. Дифференциальное исчисление названо по латинскому слову {differentia} – разность, различие. Мы ввели математические операции, которые описывают рост или уменьшение физических величин в реальном мире: берём производную по времени от пути кареты и получаем её скорость. Можем ещё раз взять производную по времени от скорости кареты и получить её ускорение.

– Значит, мы можем описать, с каким ускорением мчатся автогонщики на своих болидах? – с энтузиазмом спросил Андрей.

– Да. Более того, если мы знаем, как меняется ускорение гоночной машины, легко найдём её скорость, записав и решив так называемое дифференциальное уравнение: первая производная по времени от скорости равна ускорению машины.

– А ведь скорость – это тоже производная от пути… – напомнил Андрей.

– Верно! И мы можем написать уравнение, которое описывает движение гоночной машины: вторая производная по времени от пути равна ускорению. Учёные нашли разные способы решения многих дифференциальных уравнений. С их помощью можно вычислить изменения интересующих нас величин: скорость и путь гоночного болида по его ускорению; прирост населения мира по рождаемости или траекторию спутника, двигающегося при ускорении в поле гравитации Земли. Дифференциальные уравнения правят миром, только их нужно правильно составлять и решать. К сожалению, далеко не все уравнения поддаются решению.

Андрей спросил:

– Постой, мама, ты говоришь, что учёные до сих пор не могут решить какие-то дифференциальные уравнения?

– Конечно! – удивилась Дзинтара. – Уравнения небесной механики Ньютона и гидродинамики Навье – Стокса, электродинамики Максвелла и гравитации Эйнштейна настолько сложны, что математики и физики смогли решить системы этих дифференциальных уравнений только в самых простых случаях.

– Ах, вот как… – Глаза Галатеи загорелись. Она уже мысленно помогала бедным учёным, которые никак не могут справиться с такими интересными уравнениями.

Тем временем мама продолжала:

– Огромное количество дифференциальных уравнений вообще не имеет аналитического решения, которое можно записать в виде комбинации математических функций вроде синуса или экспоненты. Сейчас к решению дифференциальных уравнений привлекают мощные компьютеры, которые позволяют получать численные решения – не в виде аналитических функций, а в виде таблиц чисел. Однако и электронные машины пасуют перед самыми непростыми дифференциальными уравнениями.

Дзинтара тоже увлеклась и стала размахивать руками:

– Но главная проблема заключается не в том, что дифференциальные уравнения сложно решить. В конце концов прогресс в создании компьютеров позволяет нам находить решения всё более трудных уравнений. Главная проблема, которая стоит сегодня перед учёными, особенно перед биологами и социологами, – трудность открытия дифференциальных уравнений, описывающих изменения в человеческом организме и обществе.

– А такие уравнения существуют? – осторожно поинтересовался Андрей.

– Ха! – торжествующе сказала Дзинтара. – Какие умные вопросы задают сегодня мои дети! Организм и общество двигаются вперед благодаря множеству самых разных процессов, каждый из которых может быть описан математическим уравнением. Учёные полагают, что и человеческий организм, и общество в целом можно описать системой уравнений, но она должна быть очень сложной. Ещё никто даже не приблизился к открытию этой системы уравнений. Когда дифференциальные уравнения для человека и общества будут составлены, то биологи подарят людям здоровье и бессмертие, а социологи смогут заглянуть в будущее общества и предотвратить многие несчастья.

Дзинтара остановилась и посмотрела на детей. Глаза Галатеи и Андрея горели, спать они явно не собирались.

«Кажется, дифференциальные уравнения плохо подходят для усыпления детей…» – озабоченно подумала она.