Пять возрастов Вселенной

Рис. 17. Сетчатая поверхность на нижнем рисунке изогнута как сеяло; про такую поверхность говорят, что она имеет отрицательную кривизну. Поверхность на среднем рисунке плоская: у такой поверхности нулевая кривизна. Сфера, изображенная на верхнем рисунке, имеет положительную кривизну

Что же означает кривая геометрия пространства? Кривизну трехмерного пространства крайне сложно представить визуально. Размышляя о пространстве, мы невольно представляем плоское евклидово пространство, которое однородно простирается в трех перпендикулярных друг другу направлениях. Нам совершенно чуждо представление о кривизне пространства, так как пространство, в котором мы живем, имеет чрезвычайно маленькую кривизну. Наша способность к визуализации определяется эволюцией, а поскольку пространство нашего мира почти идеально плоское, то способность к мысленному представлению кривого трехмерного пространства не является жизненно важным преимуществом, которое могло бы развиться в процессе эволюции. Ведь только на протяжении последней сотни лет мы столкнулись с необходимостью всерьез задуматься о кривом пространстве и связанной с ним неевклидовой геометрии.

Несмотря на то, что кривизна трехмерного пространства — вопрос не самый простой, читателю не составит труда понять идею кривизны двумерного пространства. Попробуем заново исследовать знакомое каждому из нас понятие круга. В двумерном пространстве круг — это совокупность точек, которые лежат на определенном расстоянии от центральной точки. В обычной плоской двумерной плоскости длина границы круга (окружности) в  = 3,14159… (пи) раз больше, чем расстояние от одной точки окружности до строго ей противоположной (диаметр). Это отношение можно проверить экспериментальным путем, если самым тщательным образом провести измерения круга, нарисованного на листе бумаги.

Далее, предположим, что мы могли бы измерить параметры больших кругов, нарисованных на поверхности Земли. Для проведения этого эксперимента находим идеально гладкую равнину (например, полярное плато в Антарктике) и привязываем к стойке (расположенной, например, на Южном Полюсе) длинную веревку. Затем мы измеряем расстояние, которое пройдем по кругу вокруг полюса. Если мы сделаем несколько измерений такого рода, каждый раз используя более длинную веревку, мы обнаружим нечто любопытное о получающихся кругах. Если взять веревку длиной десять миль, диаметр круга окажется в 1,000001 раз длиннее, чем нужно, т. е. длиннее диаметра, который получается, если измеренную длину окружности поделить на . Если длина веревки будет сто миль, то диаметр круга окажется длиннее в 1,0001 раз. Если мы возьмем веревку длиной в 6250 миль, так что она протянется от Южного Полюса до Экватора, то расстояние «поперек круга» составит половину расстояния «по кругу»: в 1,57 раз длиннее.

Круги, очерченные на Земле, ведут себя так, потому что Земля представляет собой кривую двумерную поверхность. Мы без труда можем представить кривизну сферической поверхности, потому что видим, как она располагается в плоском трехмерном пространстве. Однако, к сожалению, визуальное представление искривленного трехмерного пространства требует от нас умения представить четырехмерное пространство, в котором располагается интересующее нас трехмерное. Это крайне сложно для человеческого разума.

Если искривленная поверхность ведет себя подобно поверхности Земли, в том смысле, что диаметр круга длиннее частного длины ее окружности и , то мы говорим, что данная поверхность имеет положительную кривизну. Аналогично, если диаметр круга меньше длины его окружности, поделенной на , кривизна отрицательна.

Общая теория относительности гласит, что кривизну трехмерного пространства вызывает масса. Радиус гипотетической сферы, окружающей массивное тело, немного длиннее, чем тот, который получился бы из измерения расстояния вокруг экватора этой сферы. Точно так же, фактический объем, содержащийся внутри сферы, которая окружает место сосредоточения массы, больше, чем тот объем, который можно было бы предсказать из измерения поверхности этой сферы и последующего применения формул обычной евклидовой геометрии.