Пятьсот двадцать головоломок

382. Условный магический квадрат. Хотя относительно простого построения магических квадратов добавить нечего, а по самому предмету существует весьма обширная, правда, разрозненная, литература, небольшие вариации с некоторыми новыми условиями всегда вызывают интерес. Вот один нетрудный пример.

Можно ли построить магический квадрат, у которого суммы чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на каждой из двух больших диагоналей, были бы одинаковы, из чисел от 1 до 25 включительно, если размещать в заштрихованных клетках только нечетные числа, а в остальных четные? Существует достаточно много решений этой задачи. Не смогли бы вы найти хотя бы одно из них?

383. Пятиконечная звезда. Головоломки со звездами обладают своеобразной притягательной силой. Я приведу пример такой головоломки с простой пятиконечной звездой.

В каждый кружок изображенной здесь пятиконечной звезды требуется поместить различные числа таким образом, чтобы сумма любых четырех чисел, стоящих на одной прямой, равнялась 24. Решения с десятью последовательными числами не существует, однако вы можете использовать любые целые числа, какие пожелаете.

384. Шестиконечная звезда. В предыдущей задаче мы рассмотрели случай с пятиконечной звездой. Оказывается, с шестиконечной звездой дело обстоит еще интересней. В этом случае (см. рисунок) мы всегда можем использовать 12 последовательных чисел, от 1 до 12, а сумма четырех чисел на каждой прямой всегда окажется равной 26. Сумма чисел, стоящих в шести вершинах, может равняться любому числу от 24 до 54 включительно, кроме 28 и 50. В нашем примере эта сумма равна 24. Если вместо каждого из чисел вы подставите разность между ним и 13, то получите другое решение, дополнительное к данному, с суммой вершин, равной 54 (78 минус 24). Две дополнительные суммы в совокупности всегда дают 78.

Я приведу общее число различных решений и укажу на некоторые любопытные законы, которым подчиняется эта задача, но ее решение предоставлю читателю. Существует 6 и только 6 размещений, при которых сумма чисел на каждой прямой и во всех вершинах равна 26. Можете ли вы найти одно из них или даже все?

385. Семиконечная звезда. Мы уже познакомились вкратце с пяти- и шестиконечными звездами. Случай с семиконечной звездой особенно интересен. Все, что от вас требуется, это разместить в кружочках числа от 1 до 14 так, чтобы в любых четырех кружочках, лежащих на одной прямой, они в сумме давали 30.

Если вы нарисуете диаграмму, подобную изображенной на нашем рисунке, и воспользуетесь перенумерованными фишками, то вам будет трудно не подпасть под очарование этой головоломки. Возможно, однако, что никто из читателей не натолкнется на простой способ ее решения и решение будет найдено лишь благодаря терпению и удаче. И все же, как и в подавляющем большинстве головоломок, уже встречавшихся на наших страницах, вы увидите, что и в данном случае решение подчиняется некоторому закону (если сумеете найти этот закон).

386. Две восьмиконечные звезды. Головоломки с пяти-, шести- и семиконечными звездами приводят нас к восьмиконечной звезде. Эту звезду можно образовать двумя различными способами (см. рисунок); здесь приводится и решение для первого варианта. Числа от 1 до 16 расположены таким образом, что сумма четырех из них вдоль каждой прямой равна 34. Если вместо каждого числа вы подставите разность между ним и 17, то получите дополнительное решение.

Если читатель попытается найти какое-нибудь решение для другой звезды, то, даже зная решение, приведенное выше, он убедится, что этот орешек расколоть не так-то просто. Однако я представлю вам головоломку в легкой и занимательной форме. Оказывается, что любое решение для первой звезды можно автоматически преобразовать в решение для второй, если правильно взяться за дело. Каждая прямая из четырех чисел в одном случае появится и в другом, изменится лишь порядок чисел. Располагая этими сведениями, вам нетрудно будет найти решение и для второй звезды.

387. Гарнизоны фортов. Перед вами на рисунке изображена система фортификационных сооружений. Всего имеется 10 связанных между собой фортов, цифры обозначают численность размещенных в них небольших гарнизонов. Командующий решил передислоцировать гарнизоны таким образом, чтобы вдоль каждой из пяти прямых размещалось по 100 человек.

Не могли бы вы указать, как это следует сделать?

Гарнизоны должны передислоцироваться целиком, не будучи разбитыми на части. Эта головоломка с фишками весьма занимательна и не очень трудна.