Пятьсот двадцать головоломок

Звездочки показывают, как можно последовательно отмерить 1, 2, 3, 4 л и т. д. Можно поступить иначе — так, как показано в случае B: сначала наполнить 15-литровый сосуд, а затем последовательно отмерять 14, 13, 12, 11 л и т. д. Продолжив «стратегию» A, мы получим схему переливаний B в обратном порядке. Отсюда видно, что для того, чтобы отмерить от 1 до 7 л, мы должны воспользоваться способом A, а от 8 до 14 л — способом B. При способе A мы можем отмерить 8 л за 30 операций, а при способе B — лишь за 28, что и будет правильным ответом.

Удивительно, что с помощью любых двух взаимно простых мер (то есть не имеющих общих делителей, как, например, 15 и 16) мы можем отмерить любое целое число литров от 1 до наибольшей меры. С помощью емкостей 4 и 6 л (каждое делится на 2) мы можем отмерить только 2, 4 и 6 л. С 3- и 9-литровым сосудами мы можем отмерить только 3, 6 и 9 л. В нашей таблице отмериваемые объемы идут в правильной последовательности. Однако если мы возьмем сосуды в 9 и 16 л и применим способ A, то получим 6, 14, 5, 12, 3 л и т. д. с циклической разностью 7 (16—9—7). Другими словами, прибавляя 7 к 14 и вычитая 16, мы получим 5, а прибавляя 7 к 12 и вычитая 16, получим 3 и т. д.

[Относительно одного хорошего метода решения подобных головоломок с помощью изометрической бумаги см. мою заметку в журнале Scientific American, September 1963, а дальнейшее обсуждение этого метода — в книге Т. Н. O’Beirne «Puzzles and Paradoxes» (Oxford University Press, 1965). — M. Г.]

394. Наполнив и опорожнив 7-квартовый сосуд 14 раз, вы выльете 98 кварт и оставите в бочке 22 кварты, совершив 28 операций. (На то, чтобы наполнить и опорожнить сосуд, уходят 2 операции.) Наполните 7-квартовый сосуд, затем из него наполните 5-квартовый сосуд (в 7-квартовом остаются 2 кварты). Опорожните сосуд емкостью в 5 кварт, перелейте в него оставшиеся 2 кварты из 7-квартового сосуда. Снова наполните 7-квартовый сосуд и дополните из него 5-квартовый (в 7-квартовом останутся 4 кварты). Опорожните 5-квартовый сосуд и перелейте в него 4 кварты из 7-квартового сосуда. Еще раз наполните 7-квартовый сосуд и долейте из него 5-квартовый (в 7-квартовом сосуде останется 6 кварт). Опорожните 5-квартовый сосуд. Наполните его из 7-квартового сосуда (в котором останется 1 кварта). Опорожните 5-квартовый сосуд. Перелейте оставшуюся 1 кварту из бочки в 5-квартовый сосуд. На все переливания уйдет еще 14 операций. Так что всего придется совершить 42 операции. Или же вы можете вылить из бочки 104 кварты за 32 операции (12 раз по 7 и 4 раза по 5 — самый быстрый способ), а с оставшимися 16 квартами справиться за 10 операций.

395. Наполните сосуды емкостью 7 и 5 кварт. Вылейте 108 кварт из бочки, опорожните 5-квартовый сосуд в бочку, а затем наполните его из 7-квартового сосуда. Перелейте содержимое 5-квартового сосуда в бочку. Отлейте 2 кварты из большего сосуда в меньший. Наполните 7-квартовый сосуд из бочки, а затем из него 5-квартовый сосуд. Перелейте содержимое 5-квартового сосуда в бочку. Перелейте 4 кварты из большего сосуда в меньший. Наполните больший сосуд из бочки и отлейте из него 5 кварт в меньший сосуд. Вылейте на землю содержимое 5-квартового сосуда и наполните его из бочки. Выплесните па землю только что налитые 5 кварт и перелейте 1 кварту из бочки в 5-квартовый сосуд. Задание, таким образом, выполнено за наименьшее число операций, равное 17.

396. Вместимость кувшина должна быть чуть меньше 3 л. Точнее говоря, она равна 2,93 л.

397. Две пинты воды можно отмерить за 14 операций, если сосуды над чертой пусты, а каждая строка соответствует одной операции.

7 л	11 л
7	0
0	7
7	7
3	11
3	0
0	3
7	3
0	10
7	10
6	11
6	0
0	6
7	6
2	11

Содержимое сосудов, указанное после каждой операции, не требует пояснений.

398. Смесь содержит вина и воды.

399. Вот одно из нескольких решений:

Емкость сосудов в унциях	24	13	11	5
Содержимого в сосуде:
до переливания	24	0	0	0
после 1-го переливания	0	8	11	5
после 2-го переливания	16	8	0	0
после 3-го переливания	16	0	8	0
после 4-го переливания	3	13	8	0
после 5-го переливания	3	8	8	5
Итого	8	8	8	0

[Найдено лучшее решение, содержащее только 5 операций:

8	0	11	5
8	11	0	5
8	13	3	0
8	8	3	5
8	8	8	0 — М. Г.]

400. Простейшим решением задачи будет следующее (вверху указана емкость сосудов, ниже — первоначальное количество содержимого, а в каждой следующей строке — количество содержимого после очередной операции):

80 л	80 л	5 л	4 л
80	80	0	0
75	80	5	0
75	80	1	4
79	80	1	0
79	80	0	1
74	80	5	1
74	80	2	4
78	80	2	0
78	76	2	4
80	76	2	2