Пятьсот двадцать головоломок

Так, мы сначала наполняем 5-литровый кувшин из одного бидона, затем 4-литровый кувшин из 5-литрового, затем выливаем содержимое 4-литрового обратно в бидон и т. д. Все это можно проделать очень легко. Обратите внимание на остроумие последних двух операций: мы наполняем 4-литровый кувшин из второго бидона, а затем доверху доливаем первый бидон.

401. Жирная линия на рисунке показывает путь из Лондона в Типперери, совершаемый за 18 переходов. Чтобы добраться до места назначения за четное число переходов, совершенно необходимо включить в маршрут переход, отмеченный словами Ирландское море.

402. Десять точек, отмеченных на рисунке буквами, представляют собой «нечетные узлы», то есть точки, из которых вы можете идти по нечетному числу (три) направлений. Следовательно, нам известно, что всего потребуется 5 линий (половина 10). Пунктирные линии показывают 4 кратчайших расстояния между узлами. Обратите внимание, что вам нельзя использовать один узел дважды; в противном случае решение можно было бы удушить, обозначив пунктиром EH и CF вместо CD и GH. Зафиксировав наши 4 кратчайших расстояния, мы можем начертить все остальное с помощью одной непрерывной линии от A до K, как показано на рисунке. Добравшись до D, вы должны пройти к C и обратно к D, от G к H и обратно и т. д. Или же вы можете подождать до того момента, когда доберетесь до C, а затем пройти до D и обратно и т. д. Таким образом, вы пройдете дважды только пунктирные линии, что и даст минимально возможное расстояние, которое приходится проходить дважды.

403. Допустим, что мы пересекаем отрезки по мостам, изображенным в случае 1 маленькими параллельными линиями. Далее я преобразую диаграмму, сведя области A, B, C, D, E просто к точкам и изобразив мосты, связывающие данные точки, прямыми, или путями, — случай 2. При этом никакого изменения условий не произошло, поскольку в каждом случае имеется 16 мостов (путей) и они связывают A, B, C, D, E совершенно одинаковым образом. Можно заметить, что наружу выходят 9 мостов, или путей. Очевидно, мы можем попарно соединять данные пути, заботясь лишь о том, чтобы они не пересекали друг друга. Простейший способ показан в случае 3. Выйдя из A, B, C или E, мы немедленно возвращаемся в ту же точку по соседнему мосту, оставив одну точку x обязательно вовне. В случае 2 имеются 4 нечетных узла A, B, D и x (если мы решили входы и выходы сделать такими, как в случае 3); поэтому, как я уже объяснял, нам потребуется 2 росчерка (половина 4), чтобы пройти по всем путям, откуда и следует неразрешимость нашей задачи.

Теперь давайте удалим отрезок AB. Тогда A и B станут четными узлами, а нам придется начинать и заканчивать наш маршрут в нечетных узлах D и x. Двигайтесь вдоль линии, показанной в случае 3, и вы увидите, что это можно сделать, выбросив путь от A до B. Эту схему читатель легко преобразует в случай 4, сказав себе: «Идем из x в D, из D в E, из E наружу и возвращаемся в E» и т. д. Маршрут можно изменить, соединив внешние мосты по-другому: принять за x внешний мост, идущий в A или B вместо D, и выбросить любой из путей AB, AD, BD, xA, xB или xD. В случае 5 путь из x идет в B. Мы по-прежнему выбросили AB, но должны теперь начинать и заканчивать движение в D и x. Преобразовав эту диаграмму (см. случай 6), можно заметить, что получился тот же самый чертеж, который я приводил, формулируя задачу. Теперь читатель может начертить столько маршрутов, сколько пожелает, но при этом всегда придется удалять один из путей (мостов). На примере нашей головоломки хорошо видно, как некоторая изобретательность (вроде той, что была проявлена при преобразовании диаграмм) помогает нащупать правильный подход.