Пиксель. История одной точки

Рисунок 2.5 — аналоговый, а рисунок 2.6 — цифровой. Вертикальные линии на втором называются отсчетами для аналоговой кривой — или выборкой. В случае доски с гвоздями для двумерной поверхности гвозди будут отсчетами соответствующей аналоговой поверхности. Замечательная теорема Котельникова гласит, что нам не нужна сама гладкая кривая для представления звука или сама гладкая поверхность для представления визуальной сцены. Нам нужны только отсчеты. Другими словами, на аналоговую бесконечность точек между отмеченными на первом рисунке черными зарубками можно не обращать внимания! Кажется, он говорит, что ничто может представлять нечто. Как такое возможно? Ответ кроется, конечно же, в слове «кажется».

Вы можете вообразить, что, если просто сделать очень-очень много отсчетов и разместить их достаточно близко друг к другу, они станут аналоговой звуковой кривой. У многих людей есть такое же интуитивное представление, что пиксели — какими бы они ни были, — расположенные достаточно близко друг к другу, станут соответствующей визуальной сценой. Но такое предположение ошибочно. Вы не можете достичь достаточно близкого расположения. Невозможно заставить цифровую бесконечность достичь плотности аналоговой бесконечности. Нельзя сосчитать неисчислимое. Но Котельников, кажется, говорит, что можно. Тогда как же это сделать?

Более того, его теорема гласит, что точки, показанные на втором рисунке, уже расположены достаточно близко друг к другу, то есть вы не получите ни преимуществ, ни дополнительной информации, взяв отсчеты, расположенные еще ближе. Вы все еще в недоумении? Я надеюсь на это, потому что сейчас я раскрою суть вопроса и продемонстрирую элегантность его идеи.

Итак, с этими витающими в воздухе вопросами мы уже почти готовы подступиться к великой идее Котельникова. Но сначала вернемся к идее Фурье, поскольку теорема Котельникова базируется на ней. Фурье научил нас, что звук или изображение могут быть представлены как сумма волн. На рисунке 2.7 показана одна из волн, которые дают в сумме аналоговый фрагмент, использованный мной в качестве примера и для удобства изображенный сверху (места отсчетов обозначены точками). Вы можете увидеть, что в этом фрагменте нет колебаний вверх или вниз более быстрых, чем на волне, поэтому можно считать, что у нее самая высокая частота. Все остальные волны в сумме волн Фурье для этого фрагмента обладают более низкими частотами, иначе мы бы увидели где-то в этом фрагменте более быстрое колебание.

Перейдем к сути замечательной идеи Котельникова: если вы делаете отсчеты некоей гладкой аналоговой кривой с удвоенной частотой самой высокой частоты волн Фурье из составляющей ее суммы, то вы всегда сможете точно восстановить обратно эту гладкую кривую, используя только сделанную выборку. Отсчеты дискретные, разрозненные, отделенные друг от друга — определенно не гладкие. Это первая часть его идеи, великая теорема отсчетов — та часть, в которой утверждается, что аналоговую гладкость можно заменить цифровой несвязностью. Во второй части рассказывается, как выполнить фактическое восстановление исходного аналогового сигнала из цифровых отсчетов.

Рис. 2.6

Котельников стоит на плечах гиганта Фурье. Частоты Фурье отражают скорость изменения аналогового изображения в поле зрения. Затем гениальная идея Котельникова подсказывает нам, как представить волны Фурье в цифровом виде. Удивительно, но для каждого цикла самой быстро меняющейся волны достаточно всего двух отсчетов. Нетрудно догадаться, почему именно двух: одно измерение для гребня волны, а второе — для впадины.

Пиксель

В цифровом мире у отсчетов Котельникова для визуального поля есть устоявшееся название. Мы называем их пикселями. Вот оно! Это и есть определение пикселя. Оно тесно связано как с Фурье, так и с Котельниковым. Отсчеты Котельникова — вот что делает Цифровой Свет возможным.

Пиксели — это не маленькие квадратики! Некоторых это изрядно удивит, потому что очень часто пиксели описывают именно так — настолько часто, что люди повсеместно отождествляют пиксели с плотно расположенными маленькими цветными квадратиками. Это, возможно, самое распространенное заблуждение зарождающейся цифровой эпохи, а слово «пикселизация» его только укрепило.

Рис. 2.7

На самом деле у пикселей нет формы. Это просто отсчеты, взятые в узлах регулярной сетки, — вспомните наш пример с гвоздями. Они представляют собой абстрактные точки нулевого размера, не имеющие длины, ширины и толщины. Они невидимы и бесцветны. Это просто число, кодирующее оттенок серого, или три числа, обозначающие три интенсивности цвета. Как мы увидим, именно восстановление аналогового из цифрового с использованием идеи Котельникова придает пикселям форму.