По следам бесконечности

Только разработка понятия «предела» помогла уяснить природу бесконечно малых величин. Но само это понятие получило строгое обоснование лишь в теории бесконечных множеств, создание которой стало одним из выдающихся достижений математики XIX столетия. Именно в этот период началось изучение множеств, состоящих из бесконечно большого числа элементов.

Пожалуй, самый первый шаг был сделай еще Галилео Галилеем. Великим флорентийский ученый обнаружил, что можно установить так называемое взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами. Для этого достаточно соотнести каждому целому числу результат его возведения во вторую степень. Таким образом, получается, что множество квадратов натуральных чисел так же велико, как и множество всех натуральных чисел. Галилей обратил внимание на довольно неожиданное обстоятельство: из этого следовало, что бесконечное множество может быть равно своему подмножеству — ведь далеко не каждое целое число является квадратом какого-либо другого целого числа.

А это, в свою очередь, означало, что аксиома «часть меньше целого» может оказаться недействительной, когда речь идет о бесконечности. Замечание великого физика лишь усилило недоверие к бесконечным множествам. Кстати, это недоверие разделял и сам Галилей, а много позже, в 1833 году, математик Коши, один из создателей теории пределов, цитировал его высказывания для подтверждения подобной же точки зрения.

И лишь в середине XIX столетия чешский математик Бернард Больцано (1781–1848) пришел к обоснованному выводу о том, что отличие конечных множеств от бесконечных в том именно и состоит, что бесконечное множество равномощно своей собственной части.

Труд Больцано «Парадоксы бесконечного» вышел в свет в 1855 году, спустя три года после смерти ученого. Правда, это было скорее философское, нежели математическое исследование. Попытки Больцано образовать бесконечные множества все более высоких мощностей не увенчались успехом.

Решить эту задачу удалось только выдающемуся немецкому математику Георгу Кантору (1845–1918).

В 1883 году Кантор опубликовал статью «О бесконечных линейных точечных многообразиях». Как и книга Больцано, это было тоже философское сочинение с математическим уклоном, на что прямо указывал подзаголовок «Математически-философский опыт в учении о бесконечности».

По его автор поставил перед собой сложнейшую задачу: не только осмыслить философское содержание понятия бесконечности, но и отыскать математические средства для его описания.

Кантор смело отбросил ставший уже чем-то традиционным страх математиков перед операциями с бесконечностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств и первым планомерно и последовательно занялся изучением их свойств.

Таким образом, основным объектом исследования в новой теории стало множество — совокупность объектов, отвечающих определенному условию, объединенных некоторым общим признаком.

«Под многообразием или множеством, — писал Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. с. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое, с помощью некоторого закона».

Скажем, множество четных чисел можно, по Кантору, определить так: это совокупность всех целых чисел, которые без остатка делятся на два.

Подобным же способом можно образовать и другие множества, как конечные, так и бесконечные, состоящие из тех или иных объектов. Например, множество всех людей, владеющих французским языком, или множество всех звезд с поверхностной температурой выше 6 тысяч градусов, или множество всех окружностей, обладающих общим центром.

Пожалуй, ни до Кантора, ни после него никто из математиков не брался с такой смелостью за проблему бесконечности и не вкладывал столько сил в ее решение.

«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема, — писал Кантор, — была во все времена объектом самых различных мнений и толкований. Что ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согласию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу сказать последнее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлющем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но лишь укрепились, то я счел своей обязанностью систематизировать их и опубликовать».

Кантор отлично понимал, что речь идет о расширении ряда целых чисел за бесконечное, то есть об операции совершенно необычной с точки зрения привычных математических и тем более обыденных житейских представлений.

— Я нисколько не скрываю от себя, — говорил Кантор своим друзьям, — что, решаясь на это, я вступаю в конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность.

Речь шла о взглядах, укоренившихся еще со времен Аристотеля, то есть об отношении к математической бесконечности как к бесконечности, становящейся потенциальной, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной.