По ту сторону кванта

Но люди общаются не с помощью формул, а с помощью слов, и, чтобы рассказать о новых связях в природе, они придумывают понятия, которые соответствуют формулам. Иногда эти понятия очень необычны, но люди к ним быстро привыкают, учатся правильно пользоваться ими и даже создают для себя какие-то образы, которые они связывают с новыми понятиями.

Цепочка познания переворачивается:

В истории атома эту цепочку можно легко проследить: Фраунгофер, Кирхгоф и Бунзен обнаружили, что каждый атом испускает строго определенный набор спектральных линий (явление) и каждой спектральной линии соответствует число — длина волны λ (опыт). Бальмер, Рилберг и Ритц нашли между этими числами простые связи (формула), а Бор показал, что их формулы следуют из единого принципа, который назвали квантованием (понятие). Наконец на основе этих опытов, формул и понятий возник образ — атом Бора.

Но опыты продолжались, они приносили новые числа и факты, которые уже не вмещались в рамки прежних формул, понятий и образов. И тогда возникла квантовая механика — единый принцип, из которого следовали все прежние эмпирические формулы и удачные догадки.

До сих пор мы довольно много узнали об опытах атомной физики и о понятиях, которые необходимо использовать, чтобы эти опыты объяснить. Но мы хотим большего: на этом новом, более высоком уровне знаний мы хотим создать образ атома. Для этого нам нужно, хотя бы бегло, коснуться формул квантовой механики. Это необходимо — в конце концов красота логических построений в науке много важнее, чем эффекты неожиданных ассоциаций.

Уравнение Шредингера

Предыдущие рассказы о квантовой механике почти убедили нас в том, что электрон в атоме не имеет определенного положения или хотя бы какой-нибудь орбиты, по которой он движется. Взамен этого мы пока что усвоили довольно туманную идею о том, что при движении в атоме электрон «расплывается».

Эту неопределенную идею Шредингеру удалось выразить весьма точно на однозначном языке формул. Уравнение Шредингера, как и всякий глубокий закон природы, нельзя вывести строго из более простых. Его можно только угадать. Шредингер так и сделал, и впоследствии признавался, что сам не вполне понимает, как это ему удалось. Но после того как уравнение угадано, надо еще научиться им пользоваться: надо знать, что означают все символы в уравнении и какие явления в атоме они отображают.

Уравнение Шредингера

мы уже приводили однажды и объясняли смысл входящих в него символов: ħ — постоянная Планка h, деленная на 2π; m — масса электрона, E — полная энергия электрона в атоме, a U(x) — его потенциальная энергия, которая показывает, с какой силой притягивался бы электрон к ядру, если бы он был частицей и находился от него на расстоянии x. Но нам по-прежнему неясен смысл волновой функции пси (ψ). Чтобы понять его, обратимся снова к аналогии с колеблющейся струной.

Ее уравнение

очень похоже на уравнение Шредингера. Несколько решений уравнения струны, функции U = U_k(x), изображено на рисунке. Это обычные, знакомые всем синусоиды, и смысл их очевиден: они изображают форму струны в какой-то момент времени, то есть моментальную фотографию процесса ее колебания. Форма колебаний струны зависит от числа узлов k — точек, остающихся неподвижными в процессе колебания. Поэтому существует бесконечно много решений U = U_k(x), которые различаются между собой числом узлов k.

Теперь взгляните на рисунок, где рядом с синусоидами струны U_k(x) изображены решения ψ = ψ_n(x) уравнения Шредингера для атома водорода. Они очень похожи. И если даже никаких реальных колебаний, подобных движениям струны, в атоме не происходит, то аналогия не становится от этого менее полезной.

Отмеченная аналогия позволяет пронумеровать решения ψ_n целым числом n точно так же, как решения U_k(x) нумеруются целым числом k. Более того, оказалось, что целое число n — это и есть то самое непонятное квантовое число, которым Бор нумеровал орбиты электрона в атоме. Теперь оно потеряло свой мистический оттенок: n — не что иное, как число узлов волновой функции, увеличенное на единицу (n = k + 1).

Первый постулат Бора неким «усилием воли» предписывал электронам двигаться только по тем орбитам в атоме, которые удовлетворяют квантовому условию:

Это был плодотворный, но неестественный для физики принцип, и потому он вызвал у современников сложную смесь восхищения и недовольства. Требование Шредингера значительно естественнее: как бы хитро ни двигался электрон в атоме, он должен все-таки находиться внутри атома. Поэтому ψ-функция, которая это движение «представляет», независимо от своей природы должна быть сосредоточена вблизи ядра. Это единственное граничное условие позволило вывести из уравнения Шредингера все: условия квантования Бора, энергию электрона на стационарных орбитах, смысл квантовых чисел.

В свое время эти следствия теории Шредингера покорили многих своей простотой. В уравнение Шредингера поверили и стали выяснять последнее: что представляет собой сама функция ψ.