По ту сторону кванта

Почему Луна не падает на Землю

В атоме водорода при движении электрона с массой m и зарядом e вокруг ядра атома между скоростью электрона v на орбите и радиусом орбиты r существует аналогичная связь, которую можно записать в виде уравнения: (m•v²/2)=(e²/r²).

Это уравнение верно всегда — независимо от того, излучает электрон или не излучает. Оно просто отражает известное равенство центростремительной и притягивающей сил.

Если электрон теряет энергию на излучение (по законам электродинамики), то он упадёт на ядро, как спутник при торможении в атмосфере. Но если существуют особые — стационарные — орбиты, на которых он не подчиняется законам электродинамики и потому не излучает, то должны существовать также дополнительные условия, которые выделяют эти орбиты из набора всех возможных.

Как появляются эти условия, легче всего показать, продолжив нашу аналогию со спутником.

У кругового движения, кроме радиуса орбиты r и скорости v движения по ней, есть ещё одна характеристика — момент количества движения l, или, коротко, орбитальный момент l. Он равен произведению массы m на скорость v и на радиус орбиты r, то есть l=m•

v•r, и для спутника может принимать произвольные значения в зависимости от величины r и v.

Условие стационарных орбит

Бор утверждал: электрон в атоме отличается от спутника тем, что его орбитальный момент l не может быть произвольным — он равен целому кратному от величины h=h/2 (это обозначение предложил один из создателей квантовой механики, Поль Дирак)

m•v•r=n•h.

Это и есть то дополнительное условие Бора, которое выделяет стационарные орбиты (единственно допустимые в атоме) из бесконечного числа мыслимых. А поскольку при таком выделении основную роль играет квант действия h, то и весь процесс назвали квантованием.

Из предыдущих двух условий Бор легко получил значения энергии E_n радиусов r_n стационарных орбит:

r_n= [(h²)/(m•e

²)]•n²

E_n=[-(m•e⁴)/(2•h²)]•(1/n²)

Стационарные орбиты (а следовательно, и уровни энергии) нумеруются целыми числами n или k, которые пробегают бесконечный ряд значений: 1, 2, 3…

При переходе с уровня n на уровень k электрон излучает энергию E=E_k-Е_n, а частота излучения, которое при этом возникает, определяется по формуле Эйнштейна;

=E/h = (

E_k-Е_n)/(2•h)

Если мы наблюдаем излучение, которое возникает при переходах электрона со всевозможных уровней k на какой-то определённый уровень n, то мы увидим не просто набор спектральных линий, а серию. Например, если n = 2, а k = 3, 4, 5, 6… то мы увидим серию Бальмера. Отсюда сразу же следует знаменитая формула Бора для частоты излучения атома водорода:

=[(m•e⁴)/(4h³)]•(1/n²-1/k²)

Что из неё следует?

Прежде всего она очень напоминает формулу Ридберга для атома водорода, которую тот нашёл эмпирически задолго до Бора и о которой мы подробно рассказали в предыдущей главе. Если формула Бора верна, то из неё можно вычислить постоянную Ридберга R.

R=(m•e

⁴)/(4•c•h³)

Вычислили. И действительно, её значение совпало с тем, которое давно было известно из спектроскопических измерений.

Это был первый успех теории Бора, и он произвёл впечатление чуда.

Но это ещё не всё. Из теории Бора следовало, что радиус атома водорода в основном (невозбуждённом) состоянии (n=1) равен

r₁=h²/m•e² = 0,53•10^-8 см = 0,53 A

Это означает, что размеры атомов ( 10^-8 см), вычисленные по его формуле, совпадали с предсказаниями кинетической теории материи.

И наконец, теория Бора объяснила, как свойства линейчатого спектра связаны с внутренним строением атома. Интуитивно эту связь чувствовали всегда. Но только Бору впервые удалось выразить её математически. Оказалось, что искомую связь осуществляет постоянная Планка h.

Это было неожиданно. Действительно, квант действия h возник в теории теплового излучения и никаким очевидным образом не был связан ни с атомами, ни с лучами, которые эти атомы испускают. И тем не менее именно он позволил вычислить абсолютные размеры атома и предсказать частоту света, излучаемого им. Угадать эту связь Бору, как и многим до него, помогла глубокая вера в единство природы.

Постулаты Бора (как и всякие постулаты) нельзя обосновывать логически или вывести из более простых. Они остаются произвольными творениями человеческого разума до тех пор, пока опыт не подтвердит следствий, которые из них вытекают. Тогда на их основе развиваются теории, а наиболее удачные из теорий называют законами природы.

Мы ограничимся только этими тремя следствиями теории Бора — на самом деле их значительно больше, и все они демонстрируют непонятную силу непонятных постулатов.

Раздумья Бора

Конечно, Бор пришёл к ним несколько другим путём, чем мы с вами сейчас: когда человек впервые поднимается на незнакомую вершину, трудно ожидать, что он идёт самым коротким путём. Только взойдя на пик, он видит, как можно было покорить его проще.

ПОСЛЕ БОРА