Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Все это может показаться вам знакомым, но только потому, что так и должно быть. Мы лишь рассчитали скорость объекта (в нашем примере шара) в пространстве-времени и получили в итоге c. Но мы уже приходили к аналогичному выводу в предыдущей главе, когда анализировали движение мотоциклиста по равнине пространства-времени. В контексте данной главы мы добились большего, поскольку пришли к выводу, что вектор скорости в пространстве-времени можно использовать также в новом определении четырехмерного импульса. Вектор скорости объекта, движущегося в пространстве-времени, всегда имеет протяженность c и всегда указывает в пространстве-времени в направлении движения объекта.

Все, что нам необходимо сделать, для того чтобы завершить построение нового вектора импульса в пространстве-времени, – это умножить вектор скорости в пространстве-времени на массу m. Из этого следует, что наш предполагаемый вектор импульса всегда имеет длину, равную mc, и указывает в направлении движения объекта в пространстве-времени. На первый взгляд этот новый вектор импульса немного скучноват, поскольку его длина в пространстве-времени неизменна. Создается впечатление, что наше начало вряд ли можно назвать удачным. Однако мы не должны останавливаться. Нам еще предстоит выяснить, существует ли взаимосвязь между вектором импульса в пространстве-времени, который мы только что построили, и устаревшим трехмерным вектором, или, если уж на то пошло, пригодится ли он нам в новом мире пространства-времени.

Для того чтобы углубиться в ситуацию, давайте посмотрим на те части нашего нового вектора импульса в пространстве-времени, которые указывают направление в пространстве и времени по отдельности. Увы, здесь нам не обойтись без математики. Приносим извинения читателям, не владеющим глубокими математическими знаниями, и обещаем продвигаться очень медленно. Помните: у вас всегда есть возможность бегло просмотреть уравнения и перейти к заключительным выводам. Математика делает приведенные здесь доводы более убедительными, но вы вполне можете продолжать чтение, не углубляясь в детали. Точно так же хотим извиниться и перед читателями, знакомыми с математикой, за слишком подробное изложение материала. Но ведь нельзя угодить всем сразу!

Ранее мы с вами вывели выражение для длины вектора импульса в трехмерном пространстве – m∆x/∆t. Мы исходили из того, что ∆x следует заменить на ∆s, а ∆t – на ∆s/c, для того чтобы получить четырехмерный вектор импульса, который имеет на первый взгляд неинтересную длину mc. Потерпите нас еще один абзац и позвольте написать замену для ∆t, то есть для ∆s/c, в полном виде: ∆s/c равно √((c∆t)² − (∆x)²) ÷ c. Это несколько громоздкое выражение, однако небольшая математическая манипуляция позволяет записать его в более простом виде: ∆t/γ, где γ = 1 ÷ √(1 − v² ÷ c²). Для получения этой формулы мы использовали тот факт, что скорость объекта рассчитывается как v = ∆x/∆t. В таком случае γ – это не что иное, как множитель, о котором шла речь в главе 3, выражающий величину замедления времени с точки зрения того, кто наблюдает за быстро пролетающими мимо часами.

В действительности мы уже почти добрались до цели. Смысл всех этих математических выкладок состоит в том, что они позволяют определить, в какой степени вектор импульса указывает направление в пространстве и времени по отдельности. Для начала давайте вспомним, как мы поступали с вектором импульса в трехмерном пространстве. Рис. 11 поможет нам представить себе эту ситуацию. Трехмерный вектор импульса ориентирован в ту же сторону, что и стрелка на рисунке, поскольку он указывает в том направлении, в котором движется шар. Разница лишь в том, что изменится длина вектора, потому что нам необходимо умножить длину стрелки на массу шара и разделить на временной интервал. Аналогичная ситуация складывается и для четырехмерного вектора. Теперь вектор импульса указывает направление в пространстве-времени, в котором движется шар, что соответствует направлению стрелки на рис. 12. В этом случае для получения вектора импульса нам следует изменить масштаб длины стрелки, но на сей раз раз мы должны умножить ее на массу шара и разделить на инвариантную величину ∆s/c (которая, как мы продемонстрировали выше, равна ∆t/γ). Если вы внимательно посмотрите на стрелку на рис. 12, то увидите, что, если мы захотим изменить длину на определенную величину, сохранив при этом направление, нужно просто изменить часть, указывающую в направлении x (∆x), и часть, указывающую в направлении времени (c∆t), в одинаковое количество раз. Таким образом, длина части вектора импульса, которая указывает в направлении пространства, представляет собой ∆x, умноженное на m и деленное на ∆t/γ, что можно записать как γm∆x/∆t. Если вспомнить, что v = ∆x/∆t – это скорость движения объекта в пространстве, то мы получим следующий ответ: часть вектора импульса в пространстве-времени, указывающая в направлении пространства, имеет длину, равную γmv.