Почему E=mc²? И почему это должно нас волновать

Давайте внимательнее взглянем на трехмерный вектор импульса. На рис. 11 он представлен в виде стрелки, которая может отображать расстояние, на которое откатывается шар, перемещаясь по столу[30]. Если описывать ситуацию точнее, то предположим, что в полдень шар находится у одного конца этой стрелки, а через две секунды – у другого. Если шар перемещается на сантиметр каждую секунду, тогда длина стрелки равна двум сантиметрам. Получить вектор импульса не составляет проблем. Он представляет собой стрелку, указывающую абсолютно в том же направлении, что и на рис. 11, но ее длина другая и равна скорости нашего шара (в данном случае один сантиметр в секунду), умноженной на его массу, которая составляет, к примеру, десять граммов. Физики сказали бы, что вектор импульса этого шара имеет длину десять грамм-сантиметров в секунду (в краткой форме они записали бы это так: 10 г · см/с). Здесь снова целесообразно ввести абстрактные символы, вместо того чтобы использовать конкретную массу или скорость. Как всегда, нам не хотелось бы превращаться в школьных учителей из вашей юности. Но… если ∆x – это символ, которым обозначается длина стрелки, ∆t – промежуток времени, а m – масса шара (в нашем примере ∆x = 2 см, ∆t = 2 с, m = 10 г), то вектор импульса имеет длину m∆x/∆t. В физике принято использовать греческий символ ∆ (произносится как «дельта») для обозначения разности между двумя значениями; следовательно, ∆t обозначает интервал времени между двумя событиями, а ∆x – длину чего-либо, в данном случае расстояние в пространстве между начальным и конечным положениями шара.

Рис. 11

Нам удалось построить вектор импульса шара в трехмерном пространстве, хотя вряд ли это можно назвать самым увлекательным из всего, что мы сделали. Теперь предпримем смелый шаг и попытаемся построить вектор импульса в пространстве-времени, причем осуществим это точно таким же способом, что и в трехмерном пространстве. Единственное ограничение – мы будем использовать только те объекты, которые носят универсальный характер в пространстве-времени.

Снова начнем со стрелки, на этот раз указывающей направление в четырехмерном пространстве, как видно на рис. 12. Один ее конец показывает, где находится наш шар в начальный момент времени, а другой – где он будет через какое-то время. Длину стрелки необходимо определять по формуле Минковского для расчета расстояния в пространстве-времени, а значит, она задается уравнением (∆s)2 = (c∆t)2 – (∆x)2. Вспомните, что ∆s – это длина, с которой будут согласны все без исключения (то, что ни в коем случае нельзя сказать ни о ∆x, ни о ∆t по отдельности), а значит, именно это расстояние мы должны использовать вместо расстояния ∆x, представленного в определении импульса в трехмерном пространстве. Но чем заменить интервал времени ∆t? (Не забывайте: мы пытаемся найти замену m∆x/∆t в четырехмерном пространстве.) Проблема в том, что мы не можем использовать ∆t, поскольку эта величина не инвариантна в пространстве-времени. Как мы неоднократно подчеркивали, интервалы времени для разных наблюдателей различны, а значит, мы не должны использовать временные интервалы в определении четырехмерного импульса. Но какие у нас есть варианты? На что мы могли бы разделить длину стрелки, чтобы вычислить скорость движения шара в пространстве-времени?

Рис. 12

Нам необходимо вывести нечто более совершенное, чем старый трехмерный импульс, а также убедиться, что если мы имеем дело с объектами, движущимися со скоростью, которая гораздо меньше скорости света, то новый импульс приблизительно эквивалентен старому. С учетом этого требования мы должны разделить длину нашей стрелки в пространстве-времени ∆s на величину того же типа, что и интервал времени. В противном случае новый четырехмерный импульс будет представлять собой нечто абсолютно иное по сравнению со старым трехмерным импульсом. Промежутки времени можно измерять в секундах, значит, нам следует получить некую величину, которую тоже можно было бы измерять в секундах. Учитывая инвариантные величины в пространстве-времени, скорость света c и расстояние ∆s, есть только один возможный вариант: число, полученное посредством деления длины стрелки (∆s) на скорость c. Другими словами, если ∆s измеряется в метрах, а скорость c – в метрах в секунду, то ∆s/c – в секундах. Это и должно быть то число, на которое нам необходимо разделить длину стрелки, поскольку это единственная имеющаяся в нашем распоряжении инвариантная величина, измеряемая в требуемых единицах, – время. Давайте пойдем дальше и разделим ∆s на время ∆s/c. В результате получим просто c (по той же причине, что и в случае, когда результат деления единицы на ½ равен двум). Другими словами, четырехмерный аналог скорости в нашей формуле трехмерного импульса – это такой универсальный показатель, как предельная космическая скорость c.