Под знаком кванта.

Теперь представьте, что вы за той же доской играете в шахматы и решили, например, сделать традиционный ход е2 — е4. В этом случае результат вашего хода совершенно не связан с тем, по какому пути вы передвинули пешку. Это и понятно: правила шахматной игры не зависят от законов механики, а потому и не нуждаются в понятии траектории.

Гейзенберг сообразил, что «правила атомной игры» тоже не требуют знания траектории. В соответствии с этим он представил состояние атома в виде бесконечной шахматной доски, в каждом квадрате которой написаны числа x_nk. Естественно, что значения этих чисел зависят от положения квадрата на «атомной доске», то есть от номера n строки и номера k столбца, на пересечении которых стоит число x_nk.

Никого не удивляет тот факт, что запись шахматной партии позволяет воспроизвести ее даже много лет спустя. Конечно, при этом мы не узнаем, как долго она длилась в действительности, что переживали тогда шахматисты и как именно двигали они пешки и фигуры. Но это и неважно, коль скоро нам интересна только игра сама по себе.

Точно так же, если нам известны числа x_nk — эта своеобразная запись «атомной игры»,— мы знаем об атоме все необходимое, чтобы предсказать его наблюдаемые свойства: спектр атома, интенсивность его спектральных линий, число и скорость электронов, выбитых из атома ультрафиолетовыми лучами, а также многое другое. Числа x_nk нельзя назвать координатами электрона в атоме. Они заменяют их, или, как стали говорить позже, представляют их. Но что означают эти слова — на первых порах не понимал и сам Гейзенберг.

Действительно, вместо квадратной таблицы чисел x_nk с таким же успехом можно нарисовать все, что угодно, скажем куб, и сказать, что именно он представляет движение электрона в атоме. Однако тут же с помощью Макса Борна удалось понять, что таблица чисел x_nk не просто таблица, а матрица.

Что означает это слово? Математика имеет дело с числами и символами, и каждый символ в ней подчиняется своим правилам действия. Например, числа можно складывать и вычитать, умножать и делить, и результат этих действий не зависит от того, в каком порядке мы их производим:

5 + 3 = 3 + 5 и 5·3 = 3·5.

Но в математике есть и более сложные объекты: отрицательные и комплексные числа, векторы, матрицы и т. д. Матрицы — это таблицы величин типа x_nk, для которых определены свои операции сложения и умножения, непохожие на правила действий с обыкновенными числами. Например, складывать и вычитать матрицы, как и обычные числа, можно в произвольном порядке. Однако результат умножения двух матриц зависит от порядка умножения, то есть

Например, произведение матриц

явно отличается от такого же произведения, но в котором порядок умножаемых матриц обратный:

Правило умножения матриц может показаться странным и подозрительным, но никакого произвола в себе не содержит. По существу, именно оно отличает матрицы от других величин. Конечно, математики о матрицах знали задолго до Гейзенберга и умели с ними работать. Однако для всех было полной неожиданностью, что эти странные объекты с непривычными свойствами соответствуют чему-то реальному в природе. Заслуга Гейзенберга и Борна в том и состоит, что они преодолели психологический барьер, нашли соответствие между свойствами матриц и особенностями движения электронов в атоме и тем самым основали новую, атомную, квантовую, матричную механику.

Атомную — потому, что она описывает движение электронов в атоме.

Квантовую — ибо главную роль в этом описании играет понятие кванта действия h.

Матричную — поскольку необходимый для этого математический аппарат — матрицы.

В новой механике каждой характеристике электрона: координате х, импульсу р, энергии E — ставились в соответствие матрицы x_nk, p_nk, E_nk, и уже для них (а не для чисел) записывали уравнения движения, известные из классической механики. А затем надо было только проследить, чтобы все действия над величинами x_nk, p_nk, E_nk не нарушали правил математики.

Макс Борн установил даже нечто большее: он выяснил, что квантовомеханические матрицы координаты x_nk и импульса p_nk — это не любые матрицы, а только те из них, которые подчиняются перестановочному (или коммутационному) соотношению

В новой механике это перестановочное соотношение играло точно такую же роль, как условие квантования Бора в старой механике. И точно так же, как условия Бора выделяли стационарные орбиты из набора всех возможных, коммутационные соотношения выбирают из множества всех матриц только квантовомеханические. Не случайно, что в обоих случаях — и в условиях квантования Бора, и в перестановочных соотношениях — всегда присутствует постоянная Планка h: она непременно входит во все уравнения квантовой механики, и по этому признаку их можно безошибочно отличить от всех других уравнений.