Пока алгебра не разлучит нас

Таким образом, НОД будет равен 2¹ · 5¹ = 10. Задача о разложении числа на простые множители на практике оказывается неразрешимой, поэтому для очень больших m и n описанный метод неприменим. К счастью, существует еще один метод расчета наибольшего общего делителя, который называется алгоритмом Евклида. Допустим, что m больше n. На первом шаге разделим m на n. Возможны два случая: если остаток от деления равен 0, то n — делитель m, следовательно, n — искомый НОД. В противном случае повторим деление, заменив m на n, а n — на остаток от деления r. Можно доказать, что наибольший общий делитель m и n совпадает с наибольшим общим делителем n и r[8].

Вернемся к нашему примеру: остаток от деления 120 на 50 равен 20, следовательно, на следующем шаге алгоритм нужно повторить для 50 и 20. Остаток от деления 50 на 20 равен 10, поэтому на следующем шаге рассмотрим 20 и 10. На этот раз первое число делится на второе без остатка, таким образом, НОД равен 10. Более того, алгоритм Евклида позволяет получить некоторую дополнительную информацию: если мы рассмотрим последний ненулевой остаток от деления, то сможем записать 10 = 50 — 2·20. Сделаем еще один шаг назад и получим, что 20 = 120 — 2 · 50. Если теперь мы подставим это выражение в первое равенство, то получим отношение с целыми коэффициентами, связывающее

10 = 50-2-(120-2·50) = 5·50-2·120.

90

В общем случае алгоритм Евклида позволяет не только эффективно вычислить наибольший общий делитель чисел, но также показать следующее:

Предложение. Пусть m и n — два натуральных числа. Обозначим их наибольший общий делитель через d. Тогда существуют два целых числа u и v такие, что d = mu + nv.

Особенно интересен случай, когда m и n не имеют общих делителей. Тогда их наибольший общий делитель равен 1, а m и n называются взаимно простыми. Согласно приведенному выше предложению, существуют два целых числа u и v такие, что mu + nv = 1. Это соотношение называется соотношением Безу.

Еще одно фундаментальное свойство делимости чисел звучит так: если число а — делитель произведения bс, и нам известно, что а и b — взаимно простые, то а обязательно будет делителем с. В самом деле, в противном случае один из простых делителей а также будет делителем b, и эти числа не будут взаимно простыми.

С другой стороны, если d — наибольший общий делитель а и b, то существуют два целых числа р и q такие, что а = dp, b = dq. Это утверждение выполняется для любых общих делителей, но так как d — НОД, можно утверждать, что р и q взаимно простые — в противном случае а и b имели бы общий делитель, больший d.

Линейные уравнения

Теперь мы знаем все, что нужно для решения диофантовых уравнений вида ах + by = с,

где а, b и c — произвольные целые числа. Чтобы решить это уравнение, нужно найти все пары целых чисел (х, у), которые удовлетворяют соотношению ах + by = с.

Посмотрим, как это сделать. Обозначим через d наибольший общий делитель а и b. По определению а и b делятся на d, следовательно, выражение ах + by также будет делиться на d. Так как согласно исходному уравнению ах + by = с, число d также должно быть делителем с. Следовательно, если с не делится на d, то уравнение не имеет решений. Так, решений не имеет уравнение 50х + 120у = 7. Мы уже показали, что наибольший общий делитель 50 и 120 равен 10, а 7 не делится на 10.

Далее будем предполагать, что с делится на d.

Тогда мы можем записать а = dp, b = dq и с = dr, где р и q — взаимно простые.

Сначала рассмотрим случай с = 0, то есть однородное уравнение ах + by = 0.

91

Разделив на d первый член уравнения, получим следующее: достаточно решить уравнение рх + qy = 0, или, что аналогично, рх = —qy. Будем рассуждать следующим образом: так как рх равно — qy, qy должно делиться на р. Однако р и q взаимно простые, следовательно, остается единственный вариант: у делится на р, то есть существует целое число Λ такое, что у = Λр. Аналогично доказывается, что х делится на q, поэтому существует другое целое число μ такое, что х = μq. Подставив значения х и у в уравнение, получим: μpq = —Λpq, то есть μ = —Λ, так как pq отлично от нуля. Следовательно, решениями уравнения ах + by = 0 будет пара чисел (q, —р) и всех кратных им чисел (Λq, —Λр).

Теперь предположим, что с отлично от нуля. Если известно два решения (x₀, у₀) и (х₁ y₁) уравнения ах + by = с, то:

а(х₀ - х₁) + b(у₀ - у₁) = (ах₀ + by₁-(ax₁+by₁) = с-с = О,

откуда следует, что (x₀ — x₁, у₀ — y₁) — решение однородного уравнения ах + by = 0.

Так как все решения этого уравнения имеют вид (Λq, —Λр), найдется целое число Λ такое, что x₀ — x₁ = Λq и у₀ — у₁ = —Λр, или, что аналогично, х = x₀ — Λq и y₁ = y₀ +Λр. Иными словами, уравнение имеет бесконечно много решений, но все они выводятся из частного решения (x₀, у₀). Напомню, что р и q — результат деления а и b на наибольший общий делитель. Следовательно, мы доказали, что все решения выглядят так: