Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Принцип суперпозиции в квантовой теории не запрещает состояния которые являются суперпозициями или прямыми суммами состояний элементарных частиц. Понятие прямой суммы полностью отличается от понятия тензорного произведения. Тензорное произведение двух элементарных частиц – это две элементарные частицы, а прямая сумма – это одна частица, которая не является элементарной так является суперпозицией элементарных частиц. В связи с понятием тензорного произведения, в литературе широко обсуждается понятие entanglement.

Особенно известным это понятие стало в связи с обсуждением статьи [28]. В ней Einstein, Podolsky и Rosen предложили такой эксперимент. Допустим, что некоторая частица распадается на два состояния A и Б с одинаковой вероятностью и потом эти состояния удаляются друг от друга. Допустим, что через какое-то большое время мы обнаруживаем на большом расстоянии справа от точки распада состояние А. Тогда мы точно знаем, что на большом расстоянии слева от точки распада может быть обнаружено только состояние B. И наоборот, если мы обнаружили B, то точно знаем, что слева может быть обнаружено А. После распада, волновая функция системы является тензорным произведением частиц А и B. Но, если мы справа обнаружили А, то, исходя из принципа редукции волновой функции, уже точно знаем, что волновая функция левого состояния – уже не тензорное произведение А и B, а только состояние B. Авторы [28] считают, что этот эксперимент показывает неполноту квантовой теории так как, после эксперимента справа, волновая функция левого состояния сразу редуцируется, вопреки требованию, что никакую информацию нельзя передать со скоростью быстрее скорости света. Но никакого противоречия с квантовой теорией нет так волновая функция описывает только вероятности и больше ничего. Если наблюдатель, обнаружил состояние А справа, то наблюдатель слева получит эту информацию не сразу, а только через какое-то время. В данном случае, волновая функция системы является тензорным произведением волновой функции ψ_A в Гильбертовом пространстве H_A и волновой функции ψ_B в Гильбертовом пространстве H_B, то есть, нужны два Гильбертовых пространства.

Однако, прямая сумма ψ_A+ ψ_B состояний ψ_A и ψ_B является элементом одного Гильбертова пространства H. Здесь мы не можем обнаружить и A и B: если в результате эксперимента обнаружилось состояние А, то, согласно принципу редукции волновой функции, после эксперимента, волновая функция уже не будет суперпозицией ψ_A+ ψ_B и может остаться только A и, даже, например, в случае нейтрино, это состояние может полностью поглотиться.

То есть, состояния (f₁,f₂,f₃)=(ν_e,ν_μ,ν_τ) с разными «flavors» уже являются не элементарными частицами, а суперпозициями элементарных частиц (ν₁,ν₂,ν₃) с разными массами m_i:

f_i=Σ_j=1³ U_ij ν_j,(i=1,2,3) (18.1)

где U_ij являются элементами комплексной 3х3 матрицы.

До проблемы нейтринных осцилляций, прямая сумма элементарных частиц использовалась только в QCD для описания перемешивания кварков при помощи угла Cabibbo или матрицы Cabibbo—Kobayashi—Maskawa. Кардинальная разница между случаями кварков и нейтрино такая. Так как кварки не могут быть в свободных состояниях, то кварки в одной прямой сумме находятся внутри одного и того же нуклона или мезона и расстояния между такими кварками не могут превосходить размер данного нуклона или мезона. С другой стороны, нет теоретических ограничений на расстояния между разными нейтринными массовыми состояниями из одной и той же прямой суммы.

Теперь возникает кардинальный вопрос: какой должна быть суперпозиция массовых состояний? Почему-то (видимо, для упрощения жизни) предполагается, что разные массовые состояния имеют одинаковые импульсы, но никаких теоретических аргументов в пользу этого предположения нет. Например, автор статьи [29] пишет:

"Why should one assume that the different mass eigenstates ν_j in a beam have a common momentum but different energies? Why not assume they have a common energy but different momenta? Or different momenta and different energies? And what oscillation pattern is predicted if one does make one of these alternate assumptions?

К этому списку вопросов можно добавить: "Почему не предположить, что разные массовые состояния имеют одинаковые скорости и даже непонятно, почему направления импульсов всех частиц должны быть одинаковыми?"