Порядок из хаоса

Цепи Маркова обладают замечательным свойством: их можно описать с помощью энтропии. Пусть P(k) — вероятность найти k шаров в урне A. Вероятности Р(К) можно сопоставить H-функцию, свойства которой в точности совпадают со свойствами энтропии, рассмотренной нами в гл. 4. На рис. 25 показано, как H-функция изменяется во времени. Мы видим, что она изменяется монотонно, как и энтропия изолированной системы. Правда, H-функция убывает, а энтропия S возрастает, но так происходит «по определению»: H играет роль — S.

Рис. 25. Временная эволюция H-функции (определенной в тексте), соответствующая модели Эренфестов. H монотонно убывает и при t->? стремится к нулю.

Математический смысл H-функции заслуживает того, чтобы рассмотреть его более подробно: H-функция служит мерой отклонения вероятностей в данный момент времени от вероятностей в равновесном состоянии (когда число шаров в каждой урне равно N/2). Рассуждения, используемые в модели урн Эренфестов, допускают обобщение. Рассмотрим разбиение квадрата, т. е. разделим квадрат на некоторое число непересекающихся областей. Нас будет интересовать распределение частиц по квадрату. Пусть Р(k, t) — вероятность найти частицу в области k (в момент времени t), а Р_равн(k) — вероятность найти частицу в области k в равновесных условиях. Предполагается, что, как и в модели урн, вероятности переходов существуют и однозначно определены. По определению, H-функция задается выражением

Заметим, что в правую часть входит отношение P(k,t)/P_равн(k). Предположим, что мы разделили квадрат на восемь непересекающихся клеток и Р_равн(k)=1/8. Пусть в момент времени t все частицы находятся в первой клетке. Тогда P(1,t)=1, a во всех остальных клетках вероятности P(k,t) равны нулю. Следовательно, H=ln(1/(1/8))=ln8. Со временем частицы распределяются по клеткам равномерно, и P(k,t)=P_равн(k)=1/8. H-функция при этом обращается в нуль. Можно показать, что H-функция убывает монотонно, как это изображено на рис. 25. (Доказательство этого утверждения приводится во всех учебниках по теории стохастических процессов.) Именно поэтому H-функция играет роль «негэнтропии» — S. Монотонное убывание H-функции имеет очень простой смысл: оно отражает и служит мерой прогрессирующего выравнивания неоднородностей в системе. Начальная информация утрачивается, и система эволюционирует от «порядка» к «беспорядку».

Заметим, что марковский процесс включает в себя флуктуации. Это отчетливо видно на рис. 24. Подождав достаточно долго, мы могли бы вернуться в исходное состояние. Следует, однако, подчеркнуть, что речь идет о средних: монотонно убывающая H_м-функция может быть выражена через распределения вероятностей, а не через отдельные события. Именно распределение вероятностей эволюционирует необратимо (в модели Эренфестов функция распределения равномерно стремится к биномиальному распределению). Следовательно, на уровне функций распределения цепи Маркова приводят к однонаправленности во времени.

Стрела времени характеризует различие между цепями Маркова и временной эволюцией в квантовой механике, в которой волновая функция (самым непосредственным образом связанная с вероятностями) эволюционирует во времени обратимо. Это также один из примеров тесной взаимосвязи между стохастическими процессами, например цепями Маркова, и необратимостью. Однако возрастание энтропии (или убывание H-функции) основывается не на стреле времени, заложенной в законах природы, а на нашем решении воспользоваться знанием, которым мы располагаем в настоящем, для предсказания поведения в будущем (но не в прошлом). Вот что говорит об этом в присущей ему лапидарной манере Гиббс:

«Но хотя по отношению к математическим построениям различие между предшествующими и последующими событиями и может являться несущественным, по отношению к событиям реального мира дело обстоит совершенно иначе. В тех случаях, когда мы используем ансамбли для вычисления вероятностей событий, происходящих в реальном мире, нельзя забывать о том, что если вероятности последующих событий довольно часто можно определить, зная вероятности предшествующих, то лишь в весьма редких случаях удается определить вероятности предшествующих событий, зная вероятности последующих, ибо лишь чрезвычайно редко можно обоснованно исключить из рассмотрения априорную вероятность предшествующих событий»^[202].