Порядок из хаоса

Мы уже упоминали о том, что существует множество различных представлений одной и той же динамической системы (или множество различных точек зрения на одну и ту же динамическую систему), в каждом из которых уравнения движения сохраняют гамильтонову форму. Эти представления соответствуют различным выборам координат и импульсов. Одна из основных проблем динамики заключается в том, чтобы указать наиболее разумный выбор канонических переменных р и q, при котором описание динамики становится особенно простым. Например, можно было бы попытаться найти канонические переменные, в которых гамильтониан сводится только к кинетической энергии и зависит лишь от импульсов (а не от координат). Замечательно, что в этом случае импульсы становятся интегралами движения, т. е. сохраняются во времени. Действительно, как мы уже говорили, изменение импульсов во времени в силу канонических уравнений зависит от производной гамильтониана по координатам. Если эта производная обращается в нуль, то импульсы становятся интегралами движения. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при рассмотрении системы «свободная частица». Для того чтобы перейти к этой системе, необходимо с помощью подходящего преобразования «исключить» взаимодействие. Условимся называть динамические системы, для которых такой переход возможен, интегрируемыми системами. Таким образом, любую интегрируемую систему можно представить в виде совокупности подсистем. Каждая из таких подсистем изменяется в полной изоляции от других, независимо от них, совершая в процессе своей эволюции вечное и неизменное движение, которое Аристотель приписывал небесным телам (см. рис. 1).

Рис. 1. Два представления одной и той же динамической системы: а) как множество взаимодействующих точек (волнистые линии условно изображают взаимодействие между точками); б) как множество точек, каждая из которых ведет себя независимо от остальных (если потенциальная энергия исключена, то относительные движения точек не зависят от их взаимного расположения).

Мы уже упоминали о том, что в динамике «все задано». В случае гамильтоновой динамики это означает, что с самого первого мгновения значения различных инвариантов движения заданы. Ничего нового не может ни «случиться», ни «произойти». Так в гамильтоновой динамике мы сталкиваемся с одним из тех драматических моментов в истории науки, когда описание природы сводится почти к статической картине. Действительно, при разумной замене переменных мы можем добиться, чтобы все взаимодействия исчезли. Долгое время считалось, что интегрируемые системы, сводимые к свободным частицам, являются прототипами всех динамических систем. Поколения физиков и математиков не покладая рук трудились над тем, чтобы найти для каждого типа динамических систем «правильные» переменные, которые позволили бы исключить взаимодействия. Одним из наиболее изученных примеров может служить задача трех тел, которую с полным основанием можно назвать наиболее важной задачей в истории динамики. Одним из частных случаев задачи трех тел является движение Луны, испытывающей притяжение как со стороны Земли, так и со стороны Солнца. Были предприняты бесчисленные попытки свести эту систему к интегрируемой, но в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что это невозможно. Их результат был полной неожиданностью для современников и, по существу, возвестил о наступлении бесповоротного конца всех простых экстраполяций динамики на основе интегрируемых систем. Открытие Брунса и Пуанкаре показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно. Хотя в то время значение открытия Брунса и Пуанкаре не было оценено по достоинству, оно означало отказ от незыблемого убеждения в однородности динамического мира, в его сводимости к интегрируемым системам. Природа как эволюционирующая система с многообразно взаимодействующими подсистемами упорно сопротивлялась попыткам сведения ее к универсальной схеме, не содержащей к тому же времени.