Приборостроение

3) единственно возможны, то есть могут произойти события только из числа N событий, никакое другое произойти не может.

3. Вероятность события, операции над вероятностями

Вероятностью Р события А при этих условиях будем считать отношение числа случаев m, в пределах которого происходит событие А, к числу N равновозможных событий.

Рассмотрим следующие случаи.

1. m = N, тогда Р(А) = 1. В таком случае событие считают достоверным.

2. т = 0, то есть Р(А) = 0. Не произошло ни одного события, оно является невозможным.

Очевидно, что

0 < Р(А) < 1,

где Р(А) – вероятность появления события А. По мере увеличения количества испытаний (или количества событий)

Р (А) → 1,

то есть вероятность появления событий А возрастает и наоборот.

Над вероятностью можно производить сложение и умножение, как и над числами. Например, для того, чтобы определить вероятность появления одного из трех событии, слагают вероятность каждого из них. Пусть эт־, ими событиями будут события Б, в и С. Тогда вероятность того, что произойдет событие А или В, или С, определяется следующей формулой:

Р(А н Вн С)=Р(А) +Р(В) + Р(С),

где н– логический знак «или», P(A), P(B), P(C) – вероятность каждого из событий А, В или С.

Различают события противоположные: если некоторое событие Д может произойти при непоявлении события А, то события А и Д являются противоположными. Если сложить их вероятности P_А и P_д, то P_А + P_д = 1,

то есть в любом случае произойдет событие А или событие Д.

Событие называется независимым, если его появление не зависит от появления любого другого события. Иначе событие называется зависимым.

4. Условная и полная вероятности

Условная вероятность – такая вероятность события А, которая вычислена при предположении, что событие Д произошло: при этом события А и В являются зависимыми, они обозначаются как Р(А /В) или Р(А)В.

Совместное (одновременное или последовательное) появление нескольких независимых событий А, В, С, Fназывается сложным событием. Вероятность сложного события определяется путем умножения вероятностей составляющих его событий.

Р (АиВиСи…иF)= Р(А) × Р(В)_А × Р (С_АВ) ×… × Р(F)_АВС.

В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.

Р (АиВиСи…иF)= Р (А) × Р (В) × Р (С) × … × Р (f).

Формула, которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула выглядит следующим образом:

Р(А ν В ν С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АиВиС).

Р (АиВиС)= Р (А) × Р(В) × Р (С)

С учетом этого получим

Р (А ν В ν С)=Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А) × Р (В) × Р (С).

Теперь, после некоторого ознакомления с арифметическими операциями над вероятностями, можно привести формулу полной вероятности

В формуле предполагается, что событие А может произойти только с одним из n несовместимых событий B₁….,B_n, то есть группа событий А и B₁, или А и B₂ и т. д. Любая группа из этого ряда равносильна появлению события А.

Пример 2. Пусть события D, Е, F независимые. Какова будет вероятность событий трех извлечений подряд небракованных деталей при условии, что выборка повторная.

Решение. При данном условии после извлечения каждый раз бракованной детали, а больше одной детали нельзя извлечь, количество бракованных деталей с каждым разом уменьшается на единицу. В третий раз будет извлечена последняя бракованная деталь.

5. Распределение случайных величин

Затрагивая вопрос о вероятности некоторого события, нельзя не говорить о закономерностях появления случайных величин.

Чтобы упростить ситуацию, эти величины делят на:

1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;

2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.

Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х₁, x₂, x₃…, х_i…., x_k, и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность P_x. Тогда ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид P_x,P_x1,P_x2,…,P_xi,…,P_xk.

Очевидно, что вероятность P_x является некоторой функцией от переменной х и имеет вид: P_x = f(х), где x = x_i, i = 1, 2…, k.

Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.

1. Случайная величина – дискретная (прерывная).

Случайная величина х < х', где х < х' задано, может выражаться следующим образом:

Функция F(х)=F(х') называется функцией распределения случайной прерывной величины ч. 2. Случайная величина – непрерывна. Плотностью вероятности P_x в точке X = х называется предел вида

Следовательно, функцию F(х') можно дифференцировать, тогда

F (х)=f (х)

Основные свойства функции распределения следующие:

1) х = ∞;F(∞)= 1;