удовлетворяющая уравнению (5.1.1), называется пифагоровой тройкой. Отбросим тривиальный случай, когда одна из сторон треугольника равна нулю.
Ясно, что если множество (5.1.2) является пифагоровой тройкой, то любая тройка чисел
(kx, ky, kz), (5.1.3)
получающаяся умножением каждого из этих чисел на некоторое целое число k, также будет пифагоровой, и наоборот. Таким образом, при поиске решений достаточно ограничиться нахождением простейших треугольников, длины сторон которых не имеют общего множителя k > 1. Например, тройки
(6, 8, 10), (15, 20, 25)
являются пифагоровыми тройками, получающимися из простейшего решения (3, 4, 5).
В простейшей тройке (x, у, z) не существует общего множителя для всех трех чисел. В действительности справедливо более сильное утверждение: никакие два числа из простейшей тройки не имеют общего множителя, т. е.
D(x, y) = 1, D(x, z) = 1, D(y, z) = 1. (5.1.4)
Чтобы доказать это, предположим, что, например, х и у имеют общий делитель. Тогда они имеют общий простой делитель р. В соответствии с (5.1.1) число р должно также делить и r. Итак, (х, у, z) не может быть простейшей тройкой. Такие же рассуждения применимы для доказательства остальных двух утверждений.
Рассмотрим еще ряд свойств простейших троек. Мы только что получили, что числа х и у не могут быть оба четными, но мы можем также показать, что они не могут быть и оба нечетными. Действительно, предположим, что
x = 2a +1, y = 2b + 1.
После возведения в квадрат этих чисел и сложения их, получим число
x2 + y2 = (2a + 1)2 + (2b + 1)2 = 2 + 4а + 4a2 + 4b + 4b2 = 2 + 4 (а + а2 + b + b2),
делящееся на 2, но не делящееся на 4. В соответствии с (5.1.1) это означает, что z2 делится на 2, но не делится на 4, но это невозможно, так как если z2 делится на 2, то и z делится на 2, но тогда z2 делится на 4.
Так как одно из чисел х и у — четное, а другое — нечетное, то z — также нечетное. Для определенности будем считать, что в наших обозначениях число х — четное, а у — нечетное.
§ 2. Решение задачи Пифагора
Чтобы найти простейшие решения уравнения Пифагора (5.1.1), перепишем его в виде
x2 = z2 — y2 = (z + y)(z — y). (5.2.1)
Вспоминая, что х — четное, а у и z — оба нечетные, получаем, что все три числа
х, z + y, z — y
четные. Тогда мы можем разделить обе части уравнения (5.2.1) на 4 и получить
(1/2 x)2 = 1/2 (z + y) 1/2 (z — y). (5.2.2)
Обозначим
m1 = 1/2 (z + y), n1 = 1/2 (z — y); (5.2.3)
тогда уравнение (5.2.2) перепишется как
(1/2 x)2 = m1n1. (5.2.4)
Числа m1 и n1 взаимно простые. Чтобы это увидеть, предположим, что
d = D(m1, n1)
есть наибольший общий делитель чисел m1 и n1. Тогда, как это следует из § 1 гл. 4, число d должно делить оба числа
m1 + n1 = z, m1 — n1 = y.
Но единственным общим делителем чисел z и у в простейшей тройке может быть только 1, поэтому
d = D(m1, n1) = 1. (5.2.5)
Так как произведение (5.2.4) этих двух взаимно простых чисел является квадратом, то можно использовать результат, изложенный в конце § 2 гл. 4 (стр. 50), согласно которому числа m1 и n1 являются квадратами
m1 = m2, n1 =, D(m, n) = 1. (5.2.6)
Здесь мы можем без нарушения общности считать, что m > 0, n > 0. Теперь подставим m2 и n2 вместо m1 и n1 соответственно в уравнения (5.2.3) и (5.2.4);
получим
m2 = 1/2 z + 1/2 y, n2 = 1/2 z — 1/2 y, m2n2 = 1/4 x2,
т. е.
x = 2mn, y = m2 — n2, z = m2 + n2. (5.2.7)
Проверка показывает, что эти три числа всегда удовлетворяют соотношению Пифагора х2 + у2 = z2.
Осталось определить, какие целые положительные числа m и n в действительности соответствуют простейшим треугольникам. Докажем, что следующие три условия на числа m и n являются необходимыми и достаточными:
(1) (m, n) = 1,
(2) m > n, (5.2.8)
(3) одно из чисел m и n четное, а другое — нечетное.
Доказательство. Сначала покажем, что если числа х, у, z образуют простейшую тройку, то условия (5.2.8) выполняются. Мы уже показали, что условие (1) является следствием того, что числа х, у, z взаимно простые. Условие (2) следует из того, что числа х, у, z — положительны. Чтобы увидеть, что условие (3) необходимо, заметим, что если m и n оба нечетные, то в соответствии с (5.2.7) у и z были бы оба четные, в противоречие с результатами, полученными в конце предыдущего параграфа.
Наоборот, если условия (5.2.8) выполнены, то соотношения (5.2.7) определяют простейшую тройку: условие (2) обеспечивает положительность чисел х, у и z.