Примени математику

16.23. Каждый из искомых прямоугольных треугольников ABC отличается от других тем, что его высота BD, опущенная на гипотезу АС, имеет целую длину z и делит эту гипотезу на целочисленные отрезки AD и DC (рис. 85). Для начала будем считать, что числа x = AD и y = DC взаимно просты, так как любой простой делитель этих чисел является также и делителем числа z² = xy, а значит, числа z (сравните с рассуждениями о пифагоровых тройках в § 7). Если произведение взаимно простых чисел хну есть квадрат какого-то натурального числа z, то и сами числа х и y являются квадратами натуральных чисел. Верной обратное. Поэтому для удовлетворения условия xy = z² необходимо и достаточно в данном случае, чтобы выполнялись равенства х = m² и y = n², где (m, n) = 1. Наконец, если снять требования взаимной простоты чисел хну, то получаются общие формулы для искомых отрезков х, y и высоты z прямоугольного треугольника ABC: х = m²k, y = n²k, z = mnk, где k, m, n - произвольные натуральные параметры, причем числа тип взаимно простые. По каждой такой тройке чисел х, y, z теперь без труда строится нужный нам прямоугольный треугольник.

Рис. 85

16.24. Окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит, во-первых, через четыре попарно диаметрально противоположных угла сетки, лежащих на линиях, общих с центром окружности. Кроме того, она содержит по одной вершине от каждого из восьми прямоугольных треугольников с катетами 3 и 4, лежащими на линиях сетки, и с гипотенузой 5, один конец которой совпадает с центром окружности. Любая другая окружность указанного вида, содержащая более 4 узлов сетки, должна иметь радиус, равный гипотенузе прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами. Наименьший такой радиус равен 5 (см. задачу 7.7).

16.25. Как было замечено при решении задачи 16.24, число узлов сетки, лежащих на данной окружности с центром в узле и целым радиусом, полностью определяется количеством пифагоровых троек чисел, большее из которых равно радиусу этой окружности. Если таких троек нет, то число узлов равно 4, а если тройка только одна, то число узлов равно 8, и вообще каждая очередная тройка порождает 8 дополнительных узлов (именно 8, а не 4, поскольку меньшие числа пифагоровой тройки обязательно различны). Так как наименьшее число, участвующее в качестве большего числа сразу в двух пифагоровых тройках, равно 25 (см. решение задачи 7.7, где указаны, в частности, тройки 15, 20, 25 и 7, 24, 25), то искомый наименьший радиус окружности указанного вида, содержащей более 12 узлов сетки, равен как раз 25. Эта окружность проходит сразу через 20 узлов сетки. Ее четверть изображена на рис. 86.

Рис. 86

§ 17. Перегибая лист бумаги

Среди множества возможных действий с бумагой особое место занимает операция ее перегибания. Одним из достоинств этой операции является то, что ее можно производить, не имея под рукой никаких дополнительных инструментов - ни линейки, ни циркуля, ни даже карандаша. Этим вы, конечно, неоднократно пользовались, когда складывали из бумаги пилотку, самолет, кораблик и т. п.

Практические свойства бумаги порождают своеобразную геометрию, с элементами которой мы познакомим вас в настоящем параграфе. Роль линий в этой геометрии будут играть края листа и складки, образующиеся при его перегибаниях, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения складок друг с другом или с краями листа. Оказывается, возможности операции перегибаний листа очень велики. То, что они включают в себя всю геометрию одной линейки, не вызывает сомнений. Но они в определенной степени- таят в себе также и возможности циркуля, хотя и не позволяют проводить непосредственно дуги окружности.

Заметим, что при реальной работе с бумагой нужно учитывать следующие обстоятельства. Если складывать лист бумаги в несколько раз, то сами складки получаются все менее и менее четкими из-за того, что настоящая бумага имеет некоторую, пусть незначительную, но ненулевую толщину. Этот эффект иногда начинает проявляться уже при втором перегибании. Следовательно, решая задачи этого параграфа, вы должны беспокоиться о том, чтобы при реализации решений бумагу приходилось складывать по возможности в меньшее число раз. Кроме того, не будем закрывать глаза и на то, что внешний вид бумаги несколько портится от дополнительных складок. Поэтому поищите более экономные в этом смысле построения.

17.1. Почему именно прямая? Каждый, наверное, уже давно привык к тому, что бумага перегибается всегда по прямой линии, а не по окружности и не по какой-нибудь другой кривой. Попробуйте найти причину этого явления.

17.2. Середина отрезка На листе бумаги отмечены две точки А и В. Как с помощью перегибаний этого листа разделить отрезок АВ пополам?

17.3. Перпендикуляр к прямой Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную точку?