Принцесса или тигр

6. Сначала попробуем решить эту задачу с помощью второго принципа Крейга, который, как мы помним, гласит, что для любого операционного числа М и для произвольного числа А существует некоторое число X (а именно число М32АМЗ), которое порождает М(АХ). Возьмем теперь два любых операционных числа М и N. Тогда, согласно этому принципу (если взять в качестве А число N2), найдется некое число X (а именно число M32N2M3), которое порождает число M(N2X). Ясно также, что число N2X порождает N(X). Поэтому если обозначить число N2X через У, то мы получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Следовательно, решение задачи имеет вид: X = M32N2M3, Y = N2M32N2M3. (Для конкретной задачи, предложенной Фергюссоном, положим М = 4 и N = 3, тогда решение будет таким: Х = 4323243, У = 324323243, читатель сам может убедиться в том, что X порождает обращение У, а У порождает ассоциат X; последняя часть этого утверждения особенно очевидна.)

Можно подойти к решению этой задачи и по-другому. Из решения задачи 5 мы знаем, что существуют числа Z и W, при которых Z порождает NW, a W порождает MZ (а именно числа Z = 32N2M3 и W = 2M32N2M3). Тогда, согласно утверждению 1 из предыдущей главы, число MZ порождает M(NW), a число NW порождает N(MZ). Поэтому если мы обозначим MZ через X, a NW через У, то сразу получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X). Таким образом, мы получаем то же самое решение: X = M32N2M3 и y = N2M32N2M3.

7. Здесь нам необходимо найти такое число X, которое порождало бы число М(AN2BX); согласно второму принципу Крейга, таким числом X является число M32AN2BM3. Возьмем N2BX в качестве У; тогда число X порождает М(АУ), а число У (которое есть N2BX), очевидно, порождает N(BX). Итак, общее решение задачи (или, по крайней мере, одно из возможных общих решений) имеет вид: X = M32AN2BM3, Y = N2BM32AN2BM3. Для конкретного частного случая положим М = 5, N = 4, А = 7 и В = 89.

8. Согласно второму принципу Крейга, существует некоторое число X, которое порождает М(2ВХ), а именно Х = М322ВМЗ. Положим теперь У=2ВХ. Тогда X порождает М(У), а У порождает ВХ. Для конкретного частного случая примем М = 3 и В = 78; при этом решение будет иметь вид: Х = 33227833, У = 27833227833.

9. а) Возьмем некоторое число X, которое порождает M(AN2X), и обозначим через У число N2X. (Мы можем взять X равным M32AN23, a y = N2M32AN23.) Тогда X порождает М(АУ), а У порождает N(X).

б) Теперь возьмем X, которое порождает М(А2ВХ), и обозначим через У число 2ВХ. (Итак, в этом случае решение имеет вид: Х = М32А2ВЗ, У = 2ВМ32А2ВЗ.)

в) Если число X порождает М(У), а У = 2Х, то мы сразу имеем решение задачи; поэтому положим Х = М322МЗ, У = 2М322МЗ.

г) Если X порождает М(АУ), а У = 2Х, то мы сразу получаем требуемое решение; поэтому положим Х = М32А2МЗ и У = 2М32А2МЗ.

10. Согласно второму принципу Крейга, существует некое число X, которое порождает M(N2P2X), a именно X = M32N2P2M3. Положим Y = N2P2X, тогда число X порождает М(У). Пусть теперь Z = P2X, тогда y = N2Z; при этом число У порождает N(Z), а число Z порождает Р(Х). Таким образом, в явном виде решение будет таким: X = M32N2P2M3,

Y = N2P2M32N2P2M3,

Z = P2M32N2P2M3.

Для частного случая это решение имеет вид: Х = 432523243, У = 5232432523243, Z = 32432523243.

Читатель сам может легко убедиться, что действительно X порождает обращение У, Y порождает повторение Z, a Z порождает ассоциат X.

Кстати говоря, для любых трех чисел А, В и С мы всегда можем найти такие числа U, V и W, при которых U порождает AV, V порождает BW, a W порождает CU. Для этого надо просто взять такое число U, которое порождало бы число А2В2СU (если же мы воспользуемся вторым принципом Крейга, то получим U = 32A2B2C3). Положим теперь V = 2B2CU и W = 2CU. Тогда число U будет порождать AV, число V будет порождать BW, а число W будет порождать CU. Наконец, если теперь принять А, В и С за операционные числа и положить X = AV, Y = BW и Z = CU, то мы получим, что число X порождает A(Y), число У порождает B(Z), а число Z порождает С(Х). Таким образом, мы нашли еще один способ решения данной задачи.

Остановимся, попробуем обобщить!

Два дня спустя полицейское начальство из Скотланд-Ярда внезапно и совершенно неожиданно для Крейга срочно откомандировало его в Норвегию для расследования, хотя и интересного, но нас не касающегося. Поэтому я воспользуюсь отсутствием Крейга, чтобы поделиться с вами кое-какими собственными соображениями по поводу числовых машин Мак-Каллоха. Те же читатели, которым не терпится узнать решение загадки сейфа из Монте-Карло, могут отложить чтение этой главы на потом.