Принцесса или тигр?

А вот еще несколько задач, с которыми Мак-Каллох познакомил в тот день Крейга. (За исключением последних, эти задачи не имеют особого теоретического значения, однако читателю, может быть, доставит удовольствие повозиться с ними)

12. Найти число N, такое, чтобы число 3N порождало число 3N.

13. Найти число N, такое, чтобы число 3N порождало число 2N.

14. Найти число N, такое, чтобы число 3N порождало число 32N.

15. Существует ли такое число N, для которого числа NNN2 и 3N2 порождали бы одно и то же число?

16. Существует ли такое число N, ассоциат которого порождал бы число NN? Существует ли несколько таких чисел N?

17. Существует ли такое число N, для которого число NN порождало бы ассоциат этого N?

18. Найти число N, такое, чтобы ассоциат числа N порождал двойной ассоциат N.

19. Найти число N, которое порождает число N23.

20. Один отрицательный результат.

— Знаешь, — сказал Мак-Каллох, — я довольно долго пытался найти число N, которое порождает число N2, однако до сих пор все мои попытки не увенчались успехом. Интересно бы узнать, такое число на самом деле не существует или же у меня просто не хватает сообразительности, чтобы его отыскать?

Эта задача сразу завладела вниманием Крейга. Он тут же вытащил записную книжку и карандаш и погрузился в размышления. Спустя некоторое время он сказал:

— Не трать понапрасну силы, такое число просто не может существовать.

Как Крейг догадался об этом?

Решения

1. Таким числом является, например, число 323. В самом деле, поскольку число 23 порождает число 3 (согласно правилу 1), то, согласно правилу 2, число 323 должно порождать ассоциат числа 3, а это и есть 323 — как раз то же самое число!

Существуют ли другие такие числа?

По поводу ответа Крейга на этот вопрос смотри решение задачи 4.

2. Числом, которое нашел Крейг, было 33233. Действительно, любое число вида 332X

порождает двойной ассоциат X; так, число 33233 порождает двойной ассоциат числа 33 — то есть ассоциат ассоциата числа 33. Далее, ассоциат числа 33 есть исходное число 11233, и, следовательно, двойной ассоциат числа 33 есть ассоциат числа 33233. Итак, число 33233 порождают ассоциат числа 33233, или свой собственный ассоциат.

Как же было найдено это число, и является ли полученное решение единственным? Крейг дает ответы на эти вопросы при решении следующей задачи.

3. Здесь рассказывается о том, как Крейг отыскал решение задачи 2, а также о том, как он сумел ответить на вопрос, существуют ли какие-либо другие решения этой задачи. Тут я предоставлю слово ему самому:

«Моя задача заключалась в том, чтобы найти число N, которое порождает число N2N. Ясно, что это число должно иметь вид 2X, 32X, 332X, 3332X и т. д., причем мне нужно было отыскать X. Подошло бы в данном случае число вида 2X? Совершенно очевидно, что нет, поскольку число 2X порождает число X, которое, понятно, является более коротким (содержит меньше цифр), чем ассоциат числа 2X. Поэтому ни одно число вида 2X никак не могло оказаться подходящим.

Что можно сказать по поводу числа вида 32X? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32X.

Теперь попробуем число вида 332X. Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет вид Х2X2X2X, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332X, то есть число, которое записывается в форме 332X

2332X. Далее, может ли число Х2X2X2X оказаться тем же самым числом, что и 332X2332X? Прежде всего, нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если h — количество цифр в числе X, то число Х2X2X2X должно иметь 4h + 3 цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332X2332X имеет 2h +7 цифр. Может ли 4h + 3 равняться 2h + 7? Да, но только в том случае, когда h = 2. Итак, что касается длины, то число вида 332X вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.

Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332X. Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2X2X2X2X2X2X

2X, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332X, который записывается как 3332X23332X. Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через h длину числа X, находим, что число Х2X2X2X2X2X2X2X имеет 8h + 7 цифр; в то же время число 3332X23332X имеет 2h + 9 цифр. Равенство 8h + 7 = 2h + 9 может выполняться, только если h = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332X нам также не подходят.

Наконец, что можно сказать относительно числа вида 33332X? С одной стороны, это число порождает четверной ассоциат числа X, который имеет длину 16h + 15; с другой стороны, сам ассоциат числа X имеет длину 2h + 11. Ясно, что для любого целого положительного h выражение 16h + 15 больше, чем 2h + 11, и, значит, число вида 33332X порождает нечто слишком для нас большое.