Читаем Принцесса или тигр? полностью

10. Решением является число 3332333. Оно порождает тройной ассоциат числа 333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа 333. При этом ассоциат числа 333 есть число 3332333, и, стало быть, число 3332333 порождает двойной ассоциат числа 3332333.

Заметим общую систему: число 323 порождает само себя, число 33233 порождает свой ассоциат, число 332333 порождает двойной ассоциат самого себя. Далее, число 333323333 порождает свой тройной ассоциат, число 33333233333 порождает четверной ассоциат самого себя и т. д. (Во всем этом читатель вполне может убедиться сам.)


11. Решением является X = 3332333. Это число порождает тройной ассоциат числа A333, который является двойным ассоциатом ассоциата числа A333. При этом ассоциатом числа А333 оказывается число А3332АЗЗЗ, которое в свою очередь и есть АХ. Итак, число X порождает двойной ассоциат числа АХ.

В частном случае, когда А = 78, решением будет число 333278333.


12. Очевидно, что ответом будет N = 23. (Ведь мы уже знаем, что число 323 порождает само себя, поэтому, положив N = 23, мы действительно имеем, что число 3N порождает число 3N.)


13. Ответ: N = 22.


14. Ответ: N = 232.


15. Конечно, N = 2.


16. В этом случае вполне подойдет любая цепочка двоек.


17. Да; например, N = 32.


18. Положить N = 33.


19. Положить N = 32323.


20.

 Как читатель легко может удостовериться сам, любое число, начинающееся с двух или более троек, будет порождать число большей длины, нежели число N2. (Например, если N — число вида 332X, и h — длина числа X, то само число N будет порождать двойной ассоциат числа X, который имеет длину 4h + 3, в то время как само число N2 имеет длину h + 4). Точно так же нам никак не подойдет ни одно число N вида 2X, поскольку если и существует некое число N, которое порождает число N2, то оно обязательно должно быть вида 32X. Далее, число 32X порождает число Х2X, тогда как нам требуется получить число 32X2. Если X2X представляет собой то же самое число, что и 32X
2, то, обозначая, как обычно, через h длину числа X, мы должны прийти к условию 2h + 1 = h + 3, откуда следует, что h = 2. Итак, единственным числом, которое могло бы нас устроить (если, конечно, таковые существуют), должно быть число вида 32аb, где а и b — одиночные цифры, подлежащие определению ниже. Далее, число 32ab порождает число аb2ab, тогда как нам нужно получить число 32аb2. Итак, могут ли числа ab2ab и 32аb2 оказаться одним и тем же числом? Попробуем сравнить их цифру за цифрой:

ab2ab

32ab2.

Сравнивая первые цифры, мы получаем, что а = 3; из сравнения же третьих цифр имеем, что а = 2. Полученное противоречие доказывает, что наша задача неразрешима. Итак, не существует такого числа N

, которое порождало бы число N2!

10. Принцип Крейга

Спустя две недели Крейг снова навестил Мак-Каллоха.

— Слыхал, что ты построил новый вариант своей машины, — сказал Крейг. — Наши общие друзья рассказывали мне, будто твоя новая машина способна проделывать какие-то удивительные вещи. Это правда?

— Совершенно верно, — ответил Мак-Каллох не без гордости. — Моя новая машина, как и раньше, работает в соответствии с правилами 1 и 2, и, кроме того, в нее введены два новых правила. Однако я только что заварил свежего чая — давай выпьем по чашечке, прежде чем я познакомлю тебя с новыми правилами.

После отличного чая с восхитительными сдобными булочками Мак-Каллох приступил к делу:

— Под обращением некоторого числа я понимаю число, цифры которого записаны в обратном порядке; например, обращение числа 5934 есть число 4395. Вот первое из моих новых правил.

Правило 3. Для любых чисел X и Y справедливо следующее: если число X порождает число Y, то число 4X порождает обращение числа Y.

— Позволь мне проиллюстрировать это правило таким примером, — продолжал Мак-Каллох. — Выбери какое-нибудь произвольное число Y.

— Согласен, — сказал Крейг. — Допустим, я выбрал число 7695.

— Прекрасно. А теперь возьмем число X, которое порождает число 7695, а именно число 27695, потом введем в машину число 427695 и посмотрим, что получится. Мак-Каллох ввел в машину число 427695, а та выдала, разумеется, 5967 — обращение 7695.

— Прежде чем познакомить тебя со следующим правилом, — сказал Мак-Каллох, — я хочу продемонстрировать еще несколько операций, которые моя машина может проделывать с помощью правила 3, конечно, в совокупности с правилами 1 и 2.


1. — Ты, конечно, помнишь, — сказал Мак-Каллох, — что число 323 порождает само себя. Так вот, для моей старой машины, в которую еще не было заложено правило 3, а использовались лишь правила 1 и 2, — число 323 было единственным числом, которое могло порождать самое себя. Для моей теперешней машины ситуация оказывается несколько иной. Можешь ли ты найти какое-нибудь другое число, которое порождало бы самое себя? Кроме того, сколько существует таких чисел?

Решение этой задачи не отняло у Крейга много времени. А вы сумеете ее решить? (Ответ Крейга приведен в разделе «Решения».)


Перейти на страницу:

Все книги серии Математическая мозаика

Как же называется эта книга?
Как же называется эта книга?

Книга американского профессора Р. Смаллиана, написанная в увлекательной форме, продолжает серию книг по занимательной математике и представляет собой популярное введение в некоторые проблемы математической логики. Сюда входят более 200 новых головоломок, созданных необычайно изобретательным автором. Задачи перемежаются математическими шутками, анекдотами из повседневной жизни и неожиданными парадоксами. Завершает книгу замечательная серия беллетризованных задач, которые вводят читателя в самую суть теоремы Курта Гёделя о неполноте, — одного из замечательнейших результатов математической логики 20 века.Можно сказать — вероятно, самый увлекательный сборник задач по логике. Около трехсот задач различной сложности сгруппированы по разделам, герои которых Рыцари и Лжецы, Алиса в Стране Чудес, Беллини и Челлини и даже сам граф Дракула! Если человек произносит «Я лгу» — говорит ли он неправду? Почему физики и математики по-разному решают задачи? Как вовремя распознать упыря? Ответы на эти и более серьезные вопросы Вы найдете в этом сборнике, а может быть, и ответ на вопрос «Как же называется эта книга?». Для всех, кто хочет научиться рассуждать.

Рэймонд Меррилл Смаллиан

Научная литература

Похожие книги

Простая одержимость
Простая одержимость

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.

Джон Дербишир

Математика
Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу
Прикладные аспекты аварийных выбросов в атмосферу

Книга посвящена проблемам загрязнения окружающей среды при авариях промышленных предприятий и объектов разного профиля и имеет, в основном, обзорный справочный характер.Изучается динамика аварийных турбулентных выбросов при наличии атмосферной диффузии, характер расширения турбулентных струйных потоков, их сопротивление в сносящем ветре, эволюция выбросов в реальной атмосфере при наличии инверсионных задерживающих слоев.Классифицируются и анализируются возможные аварии с выбросами в атмосферу загрязняющих и токсичных веществ в газообразной, жидкой или твердой фазах, приводятся факторы аварийных рисков.Рассмотрены аварии, связанные с выбросами токсикантов в атмосферу, описаны математические модели аварийных выбросов. Показано, что все многообразие антропогенных источников загрязнения атмосферного воздуха при авариях условно может быть разбито на отдельные классы по типу возникших выбросов и характеру движения их вещества. В качестве источников загрязнений рассмотрены пожары, взрывы и токсичные выбросы. Эти источники в зависимости от специфики подачи рабочего тела в окружающее пространство формируют атмосферные выбросы в виде выпадающих на поверхность земли твердых или жидких частиц, струй, терминов и клубов, разлитий, испарительных объемов и тепловых колонок. Рассмотрены экологические опасности выбросов при авариях и в быту.Книга содержит большой иллюстративный материал в виде таблиц, графиков, рисунков и фотографий, который помогает читателю разобраться в обсуждаемых вопросах. Она адресована широкому кругу людей, чей род деятельности связан преимущественно с природоохранной тематикой: инженерам, научным работникам, учащимся и всем тем, кто интересуется экологической и природозащитной тематикой.

Вадим Иванович Романов

Математика / Экология / Прочая справочная литература / Образование и наука / Словари и Энциклопедии