Принцесса или тигр?

— Итак, — продолжал Фергюссон, — если задана некоторая система аксиом, то доказательство в данной системе представляет собой конечную последовательность высказываний, построенную по очень строгим правилам. При этом оказывается совсем несложно чисто механическим путем решить, является ли данная последовательность высказываний доказательством в этой системе или нет. Собственно говоря, совсем несложно даже придумать машину, которая может это делать. Гораздо труднее оказывается создать такую машину, которая могла бы решать, какие высказывания в данной системе аксиом доказуемы, а какие нет.

— Ответ, я полагаю, зависит от выбора исходной системы аксиом…

— Сейчас меня интересуют вопросы механического доказательства теорем, то есть вопросы создания таких машин, которые могли бы доказывать различные математические истины. Вот, например, мое последнее детище, — сказал Фергюссон, с гордостью указав на какое-то престранное сооружение.

Крейг и Мак-Каллох несколько минут разглядывали машину, пытаясь разгадать ее назначение.

— И что же она умеет? — спросил наконец Крейг.

— Она может доказывать различные утверждения, касающиеся положительных целых чисел, — ответил Фергюссон. — Я использую язык, в котором имеются имена для разных множеств чисел, — точнее, подмножеств положительных целых чисел. При этом существует бесконечно много таких числовых множеств, которые поддаются наименованию на этом языке. Например, у нас имеются специальные названия для множества четных чисел, для множества нечетных чисел, для множества простых чисел, для множества чисел, делящихся на 3, и т. д. — вообще, можно сказать, что практически любое множество чисел, которое могло бы представить интерес для специалиста по теории чисел, обладает своим именем на этом языке. И хотя сама совокупность числовых множеств, поддающихся описанию на этом языке, содержит бесконечно много элементов, она (по мощности. — Перев.) будет все же не больше, чем множество всех положительных чисел. С каждым положительным целым числом n оказывается связанным определенное множество чисел Аn, имеющее имя на нашем языке — это позволяет представить себе, что все именуемые множества расположены в виде последовательности A₁, A₂…, А_n… (Если хотите, можете вообразить себе, например, книгу с бесконечным числом страниц, причем для каждого целого положительного n на соответствующей n-й странице приведено описание того или иного множества положительных целых чисел. Тогда система A_n — это множество, описанное на n-й странице этой книги.)

Введем теперь математический символ ∈, который означает «принадлежит» или «является членом». Для каждого числа х и произвольного числа у мы можем сформировать утверждение х ∈ А_у, которое означает, что х принадлежит множеству А_у. Это единственный вид утверждений, которые воспринимает моя машина. При этом задача машины состоит в том, чтобы определить, какие числа каким поддающимся описанию множествам принадлежат.

Далее, каждое утверждение x ∈ A_y имеет свой кодовый номер — число, которое, будучи записано в обычной десятичной системе счисления, состоит из цепочки единиц длиной x и следующей за ней цепочки нулей длиной у. Например, кодовый номер утверждения З ∈ A₂ выглядит как 11100; кодовый номер утверждения 1 ∈ A₅ имеет вид 100000. При этом кодовый номер утверждения x ∈ A_y, то есть число, состоящее из x единиц и следующих за ними у нулей, я буду обозначать символом x*y.

— Машина работает следующим образом, — продолжал Фергюссон. — Когда она обнаруживает, что число x принадлежит множеству A_y, то она отпечатывает число x*y, то есть кодовый номер утверждения x ∈ A_y. Если при этом машина печатает число x*y, то я говорю, что машина доказала утверждение x ∈ A_y. Кроме того, если машина способна напечатать число x*y, то я говорю, что утверждение x ∈ A_y доказуемо (с помощью моей машины).

Наконец, я знаю, что моя машина всегда точна — в том смысле, что каждое утверждение, которое можно доказать с ее помощью, является истинным.

— Минуточку, — вмешался Крейг. — Что значит «является истинным»? Какая разница между «является истинным» и «доказуемо»?

— Да это же совершенно разные вещи, — объяснил Фергюссон. — Я говорю, что утверждение x ∈ A_y истинно, если x действительно является элементом множества A_y. Если же оказывается, что машина способна напечатать число x*y, тогда я говорю, что утверждение x ∈ A_y доказуемо с помощью моей машины.

— Вот теперь ясно, — сказал Крейг. — Другими словами, утверждая, что ваша машина точна — или, иначе, что каждое утверждение, доказуемое с помощью машины, является истинным, — вы имеете в виду, что ваша машина никогда не напечатает число x*y, если x в действительности не принадлежит множеству A_y. Правильно я понял?

— Совершенно верно! — ответил Фергюссон.

— Скажите, а почему вы так уверены, что машина всегда точна? — спросил Крейг.