Принцесса или тигр?

— Удивительное дело, — пробормотал Крейг и вновь погрузился в глубокое раздумье.

— О господи! — вдруг воскликнул он, буквально подскочив на стуле. — Да ведь это же решение загадки сейфа!

— О чем это вы? — спросил Фергюссон.

— А-а, прошу прощения! Вы ведь не знаете, — сказал Крейг и поведал им всю историю с банковским сейфом из Монте-Карло.

— Надеюсь, вы понимаете, что наш разговор сугубо конфиденциальный, — заключил свой рассказ Крейг. — А теперь, Мак-Каллох, если ты дашь мне число, которое порождает само себя, то я сразу же смогу назвать комбинацию, которая откроет замок сейфа.

Итак, читателю предлагаются три задачи.

1) Какое число X порождает само себя в последней машине?

2) Какая комбинация открывает замок сейфа?

3) Как связаны между собой первые два вопроса?

Эпилог

Рано утром следующего дня Крейг, подыскав надежного человека, отправил в Монте-Карло пакет, адресованный Мартинесу, в котором была записана найденная им накануне кодовая комбинация. Курьер прибыл вовремя, и сейф был благополучно открыт.

Как и обещал Мартинес, совет директоров банка прислал Крейгу солидное денежное вознаграждение. Крейг настоял на том, чтобы разделить эти деньги с Мак-Каллохом и Фергюссоном. Свой успех трое друзей решили отпраздновать, заказав шикарный ужин в ресторане «У льва».

— А знаете, — сказал Крейг, отведав превосходного хереса. — Пожалуй, это было одно из самых интересных дел в моей практике. Подумать только, числовые машины, созданные из чисто интеллектуального любопытства, и вдруг оказывают такую неоценимую помощь на практике!

Решения

Сначала еще несколько слов о загадке сейфа из Монте-Карло. В последнем условии Фаркуса не говорится, что требуемая комбинация у непременно должна отличаться от комбинации x. Поэтому если предположить, что х и у представляют собой одну и ту же комбинацию, то указанное условие можно будет прочитать так: «Пусть комбинация х родственна по отношению к комбинации х, тогда если комбинация х блокирует замок, то комбинация х будет нейтральной; если же комбинация х оказывается нейтральной, то комбинация х блокирует замок». Однако невозможно, чтобы комбинация х одновременно была нейтральной и блокировала замок. Следовательно, если комбинация х родственна но отношению к х, тогда эта комбинация не может ни оказаться нейтральной, ни блокировать замок. А значит, она должна этот замок открывать! Таким образом, если мы сумеем найти комбинацию х, которая родственна самой себе, то такая комбинация х обязательно откроет нам замок.

Конечно, Крейг понял это еще задолго до того, как вернулся в Лондон. Но как найти комбинацию х, которая родственна самой себе? Именно на этот вопрос Крейг и не мог ответить до тех пор, пока судьба не столкнула его с третьей машиной Мак-Каллоха.

Оказывается, задача нахождения комбинации, которая, согласно условию Фаркуса, является родственной самой себе, по своей сути тождественна задаче нахождения числа, которое порождает само себя в последней машине Мак-Каллоха. Единственное существенное отличие заключается в том, что кодовые комбинации для замка — это цепочки букв, тогда как числовые машины работают с цепочками цифр. Однако первую задачу можно легко преобразовать ко второй, и наоборот, следующим простым приемом.

Во-первых, мы рассматриваем лишь комбинации из букв Q, L, V, R (совершенно очевидно, что только эти буквы играют в задаче существенную роль). Предположим теперь, что вместо этих букв мы будем использовать собственно цифры 2, 6, 4, 5 (то есть 2 вместо Q, 6 вместо L, 4 вместо V и 5 вместо R). Для удобства запишем это так:

Q L V R

2 6 4 5

Теперь посмотрим, какой вид примут первые четыре условия Фаркуса, если мы запишем их не в буквах, а в цифрах.

(1). Для любого числа X число 2X2 является родственным числу X.

(2). Если число X родственно числу Y, то число 6X оказывается родственным числу 2Y.

(3). Если число X родственно числу Y, то число 4X родственно числу Y⃖.

(4). Если число X родственно числу Y, то число 5X родственно числу YY.

Сразу видно, что это — точно те же правила, которым подчиняется последняя машина Мак-Каллоха, с той лишь разницей, что вместо слова «порождает» используется слово «родственно». (Конечно, я мог бы воспользоваться словом «порождает» и в гл. 8, где речь шла об условиях Фаркуса, но тогда читателю было бы слишком уж легко обо всем догадаться!)

Позвольте мне сказать это еще раз и поточнее. Для любой комбинации х, состоящей из букв Q, L, V, R, мы будем обозначать через х число, которое получается при замене Q на цифру 2, L на цифру 6, V на цифру 4 и R на цифру 5. Например, если это комбинация вида VQRLQ, то х — число 42562. При этом мы будем называть число х кодовым номером комбинации х. (Кстати, идея приписывания логическим высказываниям специальных чисел — так называемых «гёделевых номеров» — принадлежит известному логику Курту Гёделю и известна под названием гёделевой нумерации. Она очень важна, как мы увидим в IV части нашей книги.)