Принцесса или тигр?

Математики обожают обобщать! Сплошь и рядом случается так: некий математик по имени X доказывает новую теорему и публикует доказательство в научном журнале. Потом проходит полгода и появляется другой математик, Y, который вдруг заявляет: «Ну ладно, неплохую теоремку доказал этот X, однако я могу доказать гораздо более общий случай!» И тут же печатает статью под названием «Об одном обобщении теоремы X-а». Или же Y оказывается похитрее и поступает следующим образом: сначала он втайне обобщает теорему, доказанную X-м, а потом исследует какой-нибудь частный случай своего обобщения. Этот частный случай по внешнему виду обычно настолько отличается от исходной теоремы, предложенной X-м, что Y вполне может опубликовать полученный результат в качестве новой, оригинальной теоремы. Тут на сцене, естественно, появляется третий математик по имени Z: этого Z никак не оставляет чувство, что где-то теоремы X-а и Y-a в чем-то важном очень сходны. Он начинает напряженно работать и… обнаруживает некий общий принцип. Z тут же публикует работу, в которой формулирует и доказывает этот новый общий принцип, а в заключение добавляет: «Теоремы, предложенные X-м и Y-м, вполне могут рассматриваться как частные случаи нашего общего принципа, поскольку…»

Ну что ж, я тут не исключение. Поэтому я хочу сначала указать на некоторые свойства машин Мак-Каллоха, которых, как мне кажется, не заметили ни сам Мак-Каллох, ни Крейг, ни Фергюссон, после чего я попытаюсь сделать некоторые обобщения.

Первое, что больше всего поразило меня при нашем обсуждении работы второй машины Мак-Каллоха, было то, что после введения правила 4 (правило повторения) мы уже больше не нуждаемся в правиле 2 (правило ассоциата) для того, чтобы получить принцип Крейга и законы Фергюссона! В самом деле, рассмотрим машину, в которой используются только правила 1 и 4. Для такой машины мы всегда можем найти некое число X, которое порождает само себя; можем также найти такое число, которое порождает повторение самого себя; задавая произвольное число А, мы можем найти такое число X, которое порождает АХ; наконец, мы можем найти число X, которое порождает повторение числа АХ или же повторение повторения АХ. Кроме того, используя машину Мак-Каллоха, из которой выведено правило 2, мы можем найти такое число X, которое порождает обращение самого себя, или число X, которое порождает повторение своего собственного обращения, или же число X, которое порождает обращение числа АХ, или, наконец, число X, которое порождает повторение обращения числа АХ. Далее, рассмотрим машину, в которой используются предложенные Мак-Каллохом правила 1, 2 и 4 (за исключением правила 3, то есть правила обращения). При такой машине у нас имеются два различных способа построения числа, которое порождает ассоциат самого себя, два способа построения числа, которое порождает свое собственное повторение; наконец, два способа построения числа, порождающего ассоциат своего повторения или повторение ассоциата самого себя.

Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)

Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.

Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.

Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.

Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.

Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?

Решения

Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом X число 52X порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52А52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А52, которое есть число A52A52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Если мы хотим найти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)