Принцесса или тигр?

2. — Вы меня просто заинтриговали, — заявил Крейг, когда Фергюссон показал им решение. — Я вижу, что ваше решение правильно, но как вам удалось его найти? Вы просто случайно наткнулись на эти числа X и Y или действовали по заранее намеченному плану? Мне, например, это кажется прямо каким-то фокусом.

— Вот именно, — вставил Мак-Каллох. — Так, знаете, фокусник в цирке вытаскивает кролика из шляпы!

— Ага, — засмеялся Фергюссон, явно наслаждаясь произведенным эффектом. — Только не одного, а двух кроликов, и при том они еще некоторым образом влияют друг на друга. Это точно, — сказал Крейг. — Но все же мне бы хотелось знать, как вы догадались, каких именно кроликов надо тащить?

— Прекрасный, ну просто замечательный вопрос! — сияя, воскликнул Фергюссон. — А ну-ка — вот вам еще задачка: найти такие числа X и Y, чтобы число X порождало повторение числа Y, а число Y порождало обращение ассоциата X.

— С меня хватит! — воскликнул Мак-Каллох.

— Минуточку, минуточку, — перебил их Крейг. — Я, кажется, что-то начинаю понимать. Не хотите ли вы сказать, Фергюссон, что для любых двух операций, которые может выполнять машина, то есть для любых двух заданных операционных чисел M и N, должны существовать некие числа X и Y, характеризующиеся тем, что X порождает M(Y), а Y порождает N(X)?

— Вот именно! — воскликнул Фергюссон. — И поэтому мы можем найти, например, такие числа X и Y, для которых X порождает двойной ассоциат Y, а Y порождает повторение обращения X или любые другие комбинации, какие вы захотите.

— Вот так штука! — изумился Мак-Каллох. — Ведь все это время я пытался придумать машину как раз с таким свойством, а она у меня, оказывается, уже есть!

— Безусловно есть, — подтвердил Фергюссон.

— А как вы докажете это свойство? — спросил Мак-Каллох.

— Я бы хотел начать доказывать его постепенно, — ответил Фергюссон. — Собственно говоря, суть дела заключается в ваших правилах 1 и 2. Поэтому сначала позвольте сделать несколько замечаний относительно вашей первой машины — той, в которой используются только эти два правила. Начнем со следующей простой задачи: можно ли, используя правила 1 и 2, найти два различных числа X и Y, таких, чтобы число X порождало Y, а число Y в свою очередь порождало X?

Крейг и Мак-Каллох тут же занялись этой задачей.

— Ну, конечно, — рассмеялся вдруг Крейг. — Это же очевидно вытекает из того, что совсем недавно показы вал мне Мак-Каллох.

А вы можете найти эти числа?

— Теперь, — сказал Фергюссон, — для любого числа А существуют такие числа X и Y, что X порождает Y, а число Y порождает АХ. Если число А нам задано, то можете ли вы найти числа X и Y? Например, можете ли вы найти такие X и Y, чтобы X порождало Y, а Y порождало 7X?

— Мы все еще пользуемся только правилами 1 и 2 или уже можно применять правила 3 и 4? — спросил Крейг.

— Вам понадобятся только правила 1 и 2, — ответил Фергюссон.

— Я уже нашел решение! — тут же заявил Крейг.

4. — Интересно, — сказал Мак-Каллох, просмотрев решение Крейга. — А у меня решение другое.

Действительно, в этой задаче существует и второе решение. Можете ли вы его найти?

5. — Ну, а теперь, — сказал Фергюссон, — мы добрались до действительно важного свойства. Так, из одних только правил 1 и 2 следует, что для любых чисел А и В существуют такие числа X и Y, при которых X порождает AY, а Y порождает BX. Например, существуют такие X и Y, что X порождает 7Y, а Y порождает 8X. Не можете ли вы найти эти числа?

6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел M и N должны существовать такие числа X и Y, при которых X порождает M(Y), а Y порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и Y, при которых число X порождает обращение числа Y, а число Y порождает ассоциат числа X. Сумеете ли вы их найти?

7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа M и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и Y, при которых X порождает M(AY), а Y порождает N(BX)?

— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и Y, при которых число X порождает повторение 7Y, а число Y порождает обращение 89X.

Не могли бы вы найти эти числа?

8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число M и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и Y, при которых X порождает М(Y), а Y порождает BX? Например, существуют ли такие X и Y, при которых число X порождает ассоциат Y, а число Y порождает число 78X?

А как думаете вы?