Принцесса или тигр?

1. Предположим, система действительно удовлетворяет условию G₃. Пусть S — любое множество, именуемое в данной системе. Тогда, согласно условию G₃, множество S* тоже именуемо в этой системе. Значит, существует такое число b, для которого А_b = S*. Далее, число x принадлежит множеству S* только в том случае, если число x*x принадлежит множеству S. Поэтому x принадлежит множеству A_b только в том случае, если x*x принадлежит S. В частности, если в качестве x выбрать число b, то это число принадлежит; множеству A_b, только в том случае, если число b*b принадлежит множеству S. Кроме того, число b принадлежит A_b в том и только том случае, если утверждение b ∈ A_b истинно. Поэтому утверждение b ∈ A_b истинно тогда и только тогда, когда b*b принадлежит множеству S. Но число b*b есть гёделев номер утверждения b ∈ A_b. Следовательно, мы имеем, что утверждение b ∈ A_b будет истинным тогда и только тогда, когда гёделев номер этого утверждения принадлежит множеству S. Итак, если утверждение b ∈ A_b истинно, то его гёделев номер принадлежит S; если ж это утверждение ложно, то его гёделев номер принадлежит S. Таким образом, утверждение b ∈ A_b является гёделевым утверждением для S.

2. В системе Фергюссона при любом заданном числе n множество A_3·n+1 представляет собой множество A_n*. Поэтому множество A₃₀₁ — это есть множество A₁₀₀*. Воспользуемся теперь результатом предыдущей задачи, положив b равным 301. Тогда утверждение 301 ∈ A₃₀₁ будет гёделевым утверждением для множества A₁₀₀. Вообще для любого числа n, выбрав b = 3·n+1, мы получим, что утверждение b ∈ A_b, является гёделевым для множества A_n в системе Фергюссона.

3. Да. Предположим, что данная система является гёделевой и что условия G₁ и G₂ выполняются; предположим также, что система правильна. Согласно условию G₁, множество R именуемо в этой системе; поэтому, согласно условию G₁, именуемо также и множество P̅ — дополнение P. Тогда, поскольку исходная система гёделева, то существует гёделево утверждение X для P̅. Это означает, что X истинно в том и только том случае, если гёделев номер утверждения X принадлежит P̅. Однако если гёделев номер утверждения X принадлежит P̅, то тем самым он не принадлежит P, а это значит, что утверждение X недоказуемо. Таким образом, гёделево утверждение для P̅ — это ни больше ни меньше как утверждение, которое истинно в том и только том случае, если оно недоказуемо в (данной системе, а такое утверждение (как мы уже видели) как раз и должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе (если система правильна).

Итак, фактически суть доказательства Гёделя состоит в построении гёделева утверждения для множества P̅.

4. Очевидно, что всякое утверждение X является гёделевым утверждением для множества T, потому что если X истинно, то его гёделев номер принадлежит Т, а если оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит Т. Следовательно, ни одно утверждение не может оказаться гёделевым для T̅, потому что не может существовать ни истинного утверждения X, гёделев номер которого принадлежал бы множеству T̅, ни ложного утверждения X, гёделев номер которого не принадлежал бы множеству T̅.

Читателю будет поучительно убедиться, что для любого множества чисел А и для любого утверждения X это X может являться гёделевым утверждением либо для А, либо для A̅, но никак не для обоих множеств сразу.

5. Рассмотрим сначала произвольную систему, удовлетворяющую условию G₃. В соответствии с решением задачи 1 для любого множества, именуемого в рамках данной системы, существует гёделево утверждение. Кроме того, согласно решению задачи 4 не существует гёделева утверждения для множества T̅. Следовательно, если система удовлетворяет условию G₃, то множество T̅ не допускает имени в этой системе. Если система удовлетворяет к тому же условию G₃, то множество Т не именуемо в этой системе — потому что ли бы это было так, то тогда, согласно условию G₃, допускало бы имя и его дополнение T̅, что на самом деле не имеет места. Это доказывает, что в системе, удовлетворяющей условиям G₂ и G₃, множество Т не именуемо.

Окончательно: а) если выполняется условие G₃, то множество T̅ не именуемо в данной системе; б) если выполняются условия G₁ и G₃, то ни множество Т, ни его дополнение T̅ в этой системе не именуемы.

6. Как только теорема Т доказана, теорему G можно получить следующим образом.