Принцесса или тигр?

Предположим, что мы имеем правильную систему, удовлетворяющую условиям G₁; G₂ и G₃ — Из условий G₂ и G₃, согласно теореме Т, следует, что множество Т не допускает имени в данной системе. Но, согласно условию G₁, множество P допускает имя в данной системе. Поэтому раз P допускает имя в рамка системы, а Т нет, то, значит, это должны быть разные множества. Однако каждое число, принадлежащее множеству P, входит также и в множество Т, поскольку нам дано, что система является правильной в том смысле, что каждое доказуемое утверждение в ней истинно. Стало быть, поскольку множество Т не совпадает с множеством P, в множестве Т должно существовать хотя бы одно число n, которое не принадлежит P. Вместе с тем, поскольку это n принадлежит Т, оно должно быть гёделевым номером некоего истинного утверждения X. Но поскольку это число n не принадлежит P, то утверждение X должно быть недоказуемым в данной системе. Значит, утверждение X истинно, но недоказуемо в данной системе. Итак, теорема G действительно имеет место.

7. Пусть теперь нам даны условия G'₁ и G₃.

а. Согласно условию G'₁, множество R именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию G₃, множество R* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число h, при котором A_h = R*. Далее, по определению множества R* число x принадлежит R* в том и только том случае, если число x*x принадлежит множеству R. Поэтому для любого x это x принадлежит A_h в том и только том случае, если число x*x входит в множество R. В частности, если к качестве x выбрать h, то число h будет принадлежать, A_h в том и только том случае, если число h*h входит в R. Далее, h принадлежит A_h в том и только том случае, если утверждение h ∈ A_h, истинно. С другой стороны, поскольку число h*h есть гёделев номер утверждения h ∈ A_h, то h*h входит в R в том и только в том случае, если утверждение h ∈ A_h опровержимо. Значит, утверждение h ∈ A_h истинно в том и только в том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение h ∈ A_h, недоказуемо и неопровержимо (и, кроме того, оно ложно).

б. Пусть нам дано, что множество A₁₀ — это R и что A_5·n при любом числе n совпадает с множеством A_n*. Значит, A₅₀ есть множество R*. Тогда, согласно решению «а», если принять h = 50, то утверждение 50 ∈ A₅₀ будет недоказуемым и неопровержимым. Кроме того, это утверждение будет ложным.

16. Машины, рассказывающие о себе

Рассмотрим теперь доказательство Гёделя с несколько иной точки зрения, которая позволяет увидеть основную идею особенно ярко.

Возьмем четыре символа P, N, А, ‒ и рассмотрим всевозможные комбинации этих символов. Произвольную комбинацию указанных символов мы будем называть выражением. Например, выражением является комбинация P‒‒NA‒P; точно так же выражением будет комбинация ‒PN‒‒А‒P‒. Некоторым выражениям мы будем приписывать определенный смысл — такие выражения в дальнейшем будут называться утверждениями.

Предположим, что у нас имеется машина, которая может выдавать нам (распечатывать) одни выражения и не может выдавать другие. При этом те выражения, которые машина может напечатать, мы будем называть допускающими распечатку. Предполагается, что любое выражение, которое может напечатать машина, рано или поздно обязательно будет ею напечатано. Если нам задано выражение X и мы хотим высказать суждение, что X допускает распечатку, то будем записывать это как P‒X. Так, например, запись P‒ANN означает, что выражение ANN допускает распечатку (при этом неважно, является ли это утверждение истинным или ложным). Если же мы хотим сказать, что выражение X не допускает распечатки, то будем писать NP‒X. (Символ N — от англ. not — отрицание «не», а символ P — от англ. printable — допускающий распечатку.) Таким образом, запись вида NP‒X следует читать как «не допускающее распечатки X», или, что по существу то же самое, «выражение X не допускает распечатки».

Ассоциатом выражения X мы будем называть выражение X‒X; при этом вместо слова «ассоциат» нами будет использоваться символ А (от англ. associate). Таким образом, если нам задано некоторое выражение X и мы хотим сказать, что ассоциат выражения X допускает распечатку, то будем записывать это как РА‒X. Если мы теперь хотим сказать, что ассоциат утверждения X не допускает распечатки, то это будет записываться как NPA‒X.