Принцесса или тигр?

9. Парадокс ли это? Вернемся вновь к задаче 1, однако внесем в нее некоторые изменения. Вместо символа P мы будем использовать символ В (в силу определенных психологических причин — каких именно, станет ясно из дальнейшего). Определение «утверждения» остается тем же, что и раньше, только на этот раз символ P везде заменяется на символ В. Таким образом, наши утверждения принимают теперь вид: В‒X, NB‒X, ВА‒X, NBA‒X. Все утверждения, как и прежде, делятся на две группы — истинные и ложные, причем нам не известно, какие именно из утверждений истинны, а какие — ложны. Далее, вместо машины, печатающей различные утверждения, у нас теперь имеется ученый-логик, который верит одним утверждениям и не верит другим. Когда мы говорим, что наш логик не верит какому-то утверждению, мы вовсе не имеем в виду, что он обязательно сомневается в нем или отвергает его; просто неверно, что он верит в это утверждение. Другими словами, он либо считает его ложным, либо вообще не имеет о нем никакого мнения. Таким образом, символ В (от англ. believe — верить) означает «то, во что верит логик». Тогда для любого выражения X у нас есть четыре интерпретации выражений, содержащих X:

В₁: утверждение В‒X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X;

В₂: утверждение NB‒X истинно тогда и только тогда когда логик не верит в X;

В₃: утверждение ВА‒X истинно тогда и только тогда когда логик верит в X‒X;

В₄: утверждение ВА‒X истинно тогда и только тогда, когда логик не верит в X‒X.

Предполагая, что наш логик точен, то есть что он не верит в ложные утверждения, мы можем, разумеется, найти некое утверждение, которое является истинным, но о котором логик не знает, что оно истинно. Таким утверждением будет высказывание NBA‒NBA (которое говорит нам о том, что логик не верит в ассоциат выражения NBA, имеющий вид NBA‒NBA).

А дальше начинается нечто интересное. Предположим, нам известно об этом ученом-логике следующее.

Обстоятельство 1. Наш ученый-логик знает логику не хуже нас с вами. Предположим, что он обладает абсолютными логическими способностями; это означает, что если ему заданы какие-нибудь логические посылки, то он может вывести из них все возможные суждения.

Обстоятельство 2. Логику известно, что выполняются условия В₁, В₂, В₃ и В₄.

Обстоятельство 3. Логик всегда точен, то есть он не верит в ложные утверждения.

Далее, раз логику известно, что имеют место условия В₁, В₂, В₃ и В₄, и он может рассуждать так же логично, как мы с вами, ничто не мешает ему провести те же рассуждения, которые провели мы, прежде чем доказали, что утверждение NBA‒NBA должно быть истинным. Ясно, что, как только он это проделает, он сразу поверит в утверждение NBA‒NBA. Но как только он в него поверит, это утверждение становится опровергнутым, ибо смысл данного утверждения как раз и заключается в том, что наш логик в него не верит, — тем самым в конце концов окажется, что наш логик неточен!

Итак, не приходим ли мы к некоему парадоксу, если принимаем обстоятельства 1, 2 и 3? Конечно, нет, никакого парадокса здесь нет. Просто в последнем абзаце моего рассуждения допущена намеренная неточность! Не могли бы вы ее обнаружить?

Решения

1. Для любого выражения X утверждение NPA‒X означает, что ассоциат выражения X не допускает распечатки. В частности, утверждение NPA‒NPA означает, что ассоциат выражения NPA не допускает распечатки. Но ассоциатом NPA является само утверждение NPA‒NPA! Следовательно, высказывание NPA‒NPA утверждает невозможность собственной распечатки; другими словами, это высказывание истинно в том и только том случае, если оно не допускает распечатки. Отсюда следует, что оно либо истинно, но не допускает распечатки, либо ложно, но распечатку допускает. Последний случай исключается, поскольку машина является точной. Следовательно, нам остается лишь первая возможность: данное утверждение истинно, но не может быть напечатано машиной.

2. Выберем в качестве X утверждение P‒NPA‒P‒NPA, а в качестве Y — NPA‒P‒NPA. Утверждение X (которое имеет вид P‒Y) говорит нам о том, что утверждение Y допускает распечатку. Смысл самого Y сводится к тому, что ассоциат утверждения P‒NPA не допускает распечатки. Но ассоциатом утверждения P‒NPA является X, значит, Y говорит нам о том, что X не допускает распечатки. (Между прочим, можно построить и другие X и Y, обладающие теми же свойствами: например, если взять в качестве X утверждение РА‒NP‒РА, а в качестве Y — утверждение NP‒РА‒NP‒РА.)

Таким образом, у нас имеются два утверждения X и Y, причем X утверждает, что Y допускает распечатку, а Y утверждает, что X не допускает распечатки.