Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Поскольку число π трансцендентно, то и √π трансцендентно. Поэтому построить отрезок длины √π при помощи циркуля и линейки невозможно.

Вы видите, как решение задачи теории чисел — о трансцендентности числа — влечёт решение геометрической задачи. Это ещё один яркий пример тесной связи между различными областями математики.

Формулировка проблемы

Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом:

Пусть a — положительное алгебраическое число, не равное 1, b — иррациональное алгебраическое число.

Доказать, что a^b есть число трансцендентное.

В 1934 году советский математик Гельфонд* и чуть позже немецкий математик Шнайдер** доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.

-------------------

* Александр Осипович Гельфонд (1906-1968).

** Теодор Шнайдер (р. 1911).

- 20 -

Одна теорема существования

Когда-то, на заре своего существования, журнал «Квант» предложил своим читателям следующую задачу:

Пусть a и b — иррациональные числа. Может ли число a^b быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число √2^√2 —трансцендентное (поскольку √2 — алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому √2^√2 — иррациональное. С другой стороны,

(√2^√2)^√2= √2^{√2 · √2} = √2² = 2.

Итак, мы просто предъявили такие числа: а = √2^√2, b = √2. Однако эта задача может быть решена и без каких- либо ссылок на результат Гельфонда. Среди читателей нашёлся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение.

Он рассуждал так: «Рассмотрим число √2^√2. Если это число рациональное, то задача решена, такие а и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмём а = √2^√2 , b = √2, и a^b = (√2^√2)^√2 = 2».

Итак, этот школьник предъявил две пары чисел а и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.

- 21 -

Десятая проблема Гильберта:

диофантовы уравнения

Эта проблема также связана с теорией чисел. Ещё древнегреческий математик Диофант пытался ответить на следующий вопрос:

Дано уравнение с целыми коффициентами. Имеет ли оно целые решения!

Приведём в качестве примера уравнение х² + у² = z², обладающее замечательным свойством: если тройка натуральных чисел (x₀, y₀, z₀) ему удовлетворяет (как, например, тройка (3,4,5)), то по теореме, обратной к теореме Пифагора, из отрезков длины x₀, y₀  и z₀ можно сложить прямоугольный треугольник и, таким образом, построить прямой угол.

Снова геометрическая задача решается методами теории чисел! Нетрудно описать все натуральные решения этого уравнения. Они имеют следующий вид:

x = (m² –n²)l, у = 2mnl, z = (m² + n²)l,

плюс решения, получающиеся перестановкой х и у (m, n и l — произвольные натуральные числа, n < m ).

Естественным обобщением предыдущего уравнения является известное уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, n ∈ N. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение при n > 2 не имеет решений в целых числах.

Эта задача, которая, казалось бы, не очень сильно отличается от предыдущей, оказалась чудовищно трудной. На протяжении нескольких веков её пытались решить математики самого высокого класса. Для её решения пришлось построить исключительно сложный математический аппарат. И только несколько лет назад английский математик Эндрю Уайлс окончательно решил эту проблему и доказал Великую теорему Ферма.

Однако уже уравнение хⁿ +уⁿ = 2zⁿ, которое, на первый взгляд, сложнее теоремы Ферма, имеет при любом n целочисленные решения вида x = y = z = k, k ∈ Z.

- 22 -

Возникает естественный вопрос:

Нет ли какого-нибудь способа по виду уравнения, по его коэффициентам определять, имеет ли это уравнение решение в целых числах?

Иными словами, хотелось бы иметь общий алгоритм, с помощью которого можно было бы по любому уравнению выяснить, имеет ли оно целочисленное решение.

Это и есть десятая проблема Гильберта.

В 1970 году советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого алгоритма, к сожалению, не существует.

Заключение

До сих пор не решены две знаменитые проблемы Гильберта: одна — о нулях дзета-функции Римана (8-я проблема), другая — о предельных циклах (16-я проблема). Видимо, они уже не будут решены в этом столетии.