Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

Как же быть с отрицательными рациональными числами и нулём? Так же как с космозоологами и филателистами в бесконечной гостинице. Пронумеруем Q⁺ не всеми натуральными числами, а только чётными (давая им номера не 1, 2, 3, ..., а 2, 4, 6, ...), нулю присвоим номер 1, а всем отрицательным рациональным числам присвоим (по такой же схеме, что и положительным) нечётные номера, начиная с 3.

Теперь все рациональные числа занумерованы натуральными, следовательно, Q счётно.

Возникает естественный вопрос:

Может быть, все бесконечные множества счётны?

- 11 -

Оказалось, что R — множество всех точек на числовой прямой — несчётно. Этот результат, полученный Кантором в прошлом веке, произвёл очень сильное впечатление на математиков.

Докажем этот факт так же, как это сделал Кантор: с помощью диагонального процесса.

Как мы знаем, каждое действительное число х можно записать в виде десятичной дроби:

х = А, α₁ α₂ ... α_n ...,

где А — целое число, не обязательно положительное, a α₁, α₂, ... α_n, ... — цифры (от 0 до 9). Это представление неоднозначно: например,

1/2 = 0,50000... = 0,49999...

(в одном варианте записи, начиная со второй цифры после запятой, идут одни нули, а в другом — одни девятки). Чтобы запись была однозначной, мы в таких случаях всегда будем выбирать первый вариант. Тогда каждому числу соответствует ровно одна его десятичная запись.

Предположим теперь, что нам удалось пересчитать все действительные числа. Тогда их можно расположить по порядку:

х₁ = А, α₁ α₂ α₃ α₄ ...

х₂ = B, β₁ β₂ β₃ β₄ ...

х₃ = С, γ₁ γ₂ γ₃ γ₄ ...

х₄ = D, δ₁ δ₂ δ₃ δ₄ ...

………

Чтобы прийти к противоречию, построим такое число у, которое не сосчитано, т. е. не содержится в этой таблице.

Для любой цифры а определим цифру ̅а следующим образом:

- 12 -

Положим  (у этого числа к-я цифра после запятой равна 1 или 2, в зависимости от того, какая цифра стоит на к-м месте после запятой в десятичной записи  числа x_k).

Например, если

х₁ = 2,1345 ...

х₂ = -3,4215 ...

х₃ = 10,5146 …

х₄ = -13,6781 …

………

То

Итак, с помощью диагонального процесса мы получили действительное число у, которое не совпадает ни с одним из чисел таблицы, ведь у отличается от каждого x_k по крайней мере к-й цифрой десятичного разложения, а разным записям, как мы знаем, соответствуют различные числа.

Предположив, что можно пересчитать все действительные числа, мы пришли к противоречию, указав число, которое не сосчитано. Следовательно, множество R. несчётно.

Множества R. и N не являются эквивалентными, и N ⊂ R, поэтому всех действительных чисел в некотором смысле «больше» чем натуральных. Говорят, что мощность множества R. (мощность континуума) больше чем мощность N.

Континуум-гипотеза

Теперь мы располагаем всеми необходимыми сведениями для того, чтобы сформулировать знаменитую первую проблему Гильберта:

Континуум-гипотеза. С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум.

Иначе говоря, нужно установить, существует ли множество промежуточной мощности, т. е. такое множество Τ, N ⊂ Τ ⊂ R, которое не эквивалентно ни N, ни R.

- 13 -

Этой проблемой занимались очень многие математики. Сам Георг Кантор неоднократно заявлял, что доказал эту гипотезу, но всякий раз находил у себя ошибку.

О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ В МАТЕМАТИКЕ

Математика — точная наука, требующая строгости рассуждений. Но что означает строго доказать какое-либо утверждение? Это означает вывести его из аксиом — исходных положений, принимаемых без доказательства.

Конечно, в выборе аксиом, которые закладываются в основу теории, есть некоторый произвол. Но обычно аксиомы возникают естественным путём, из познания действительности. В теории множеств, частью которой являются конструкции, описанные в предыдущих разделах, тоже имеется общепризнанная система аксиом Цермело—Френкеля.

Доказать континуум-гипотезу — значит, вывести её из этих аксиом. Опровергнуть её — значит, показать, что если её добавить к этой системе аксиом, то получится противоречивый набор утверждений.

Решение проблемы