Проблемы Гильберта (100 лет спустя)

— Г-голубчики, — сказал Фёдор Симеонович озадаченно... — Это же проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.

— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как её решать.

— К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то...

— Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос...

А. Стругацкий, Б. Стругацкий.

Понедельник начинается в субботу

Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.

В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

- 14 -

Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело—Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве ещё одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.

Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни её отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.

Этот вывод произвёл очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).

Как же поступать с этой гипотезой? Обычно её просто присоединяют к системе аксиом Цермело—Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум- гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве.

Седьмая проблема Гильберта

Иррациональные числа

Вернёмся к подмножествам числовой прямой. Рассмотрим снова цепочку

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Мы уже доказали, что действительных чисел «больше» чем рациональных, потому что Q счётно, R — несчётно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел «намного больше» чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадёт в иррациональное число.)

Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.

Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это √2- Действительно, пусть это число

- 15 -

 рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

√2 = p/q

где р и q — целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим

2q² =p².

Значит, р² четно, р · р делится на 2. Поэтому р делится на 2, а значит, р² делится на 4. (Если р = 2р₁, то р² = 4p₁².) Тогда

2q² = 4p₁²,

q² = 2p₁².

Это означает, что q² делится на 2, поэтому и q делится на 2.

Мы получили, что и р, и q делятся на 2, и дробь p/q можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что √2 не может быть рациональным числом.

Итак, √2 — число иррациональное.

Конечно, когда мы доказали иррациональность числа √2, мы тем самым ещё раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.

Алгебраические и трансцендентные числа

Число α называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + а₁х + а₀

(т. е. корнем уравнения a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + а₁х + а₀ = 0,

где a_n, a_n-1 , ... + а₁,  а₀ — целые числа, n ≥ 1, a_n ≠ 0).

Множество алгебраических чисел обозначим буквой А.

- 16 -

Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, p/q - корень уравнения qx—p = 0 с целыми коэффициентами а₁ = q и а₀ = —р. Итак, Q ⊂ А.

Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число √2 является корнем уравнения х² — 2 = 0, следовательно, √2 — алгебраическое число.

Долгое время оставался нерешённым важный для математики вопрос:

Существуют ли неалгебраические действительные числа?

Только в 1844 году Лиувилль* впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.