Прорыв за край мира

Чем линейная теория отличается от нелинейной

«Линейная теория» — жаргон, так же как и «нелинейная теория», но в науке этот термин используется часто. Первая описывается линейными дифференциальными уравнениями, вторая, естественно, нелинейными. Различие между ними огромно как с точки зрения техники решения, так и с точки зрения мира описываемых явлений.

Линейное дифференциальное уравнение состоит из производных неизвестной функции и самой неизвестной функции в первой степени. Первая степень позволяет складывать решения и умножать их на произвольную константу — то, что получится, всё равно будет решением. Мир линейных уравнений оказывается простым: можно суммировать поля от разных источников, можно разлагать сложные конфигурации на простые (типа плоских волн) и рассматривать эволюцию каждой из них по отдельности. Волны, описываемые линейными уравнениями, спокойно проходят друг через друга, складываясь в интерференционную картину, и расходятся, ничуть не изменившись. Линейный мир прост, но неинтересен — в нем не получишь сложных стабильных структур.

Достаточно ввести в уравнение квадрат неизвестной функции или ее произведение на ее же производную — и мир меняется. Сумма решений уже не является решением, волны уже не проходят спокойно друг через друга, а взаимодействуют, появляются новые сущности, та кие как солитоны. Кстати, протоны и нейтроны в некоторых упрощенных моделях сильных взаимодействий появляются именно как солитоны, а описывающая их теория, квантовая хромодинамика, существенно нелинейна.

Часто бывает так, что возмущения какой-либо среды описываются линейными уравнениями, пока они остаются малыми. Как только их амплитуда становится большой, проявляется нелинейность. Пример — обычные волны на поверхности воды. Рябь линейна с хорошей точностью, а большие океанские волны уже нелинейны из-за сложной аэро- и гидродинамики. Отсюда и получается знаменитый девятый вал и «волны-убийцы». Гравитационные волны тоже линейны, когда они слабые, а когда, например, сливаются две черных дыры, нелинейность переменного гравитационного поля чудовищна. Самая распространенная причина нелинейности — взаимовлияние. Например, сливаются два автомобильных потока. Если они редкие, машины продолжают двигаться стой же скоростью, потоки просто суммируются. Если потоки интенсивные, машины начинают мешать друг другу, скорость падает зачастую до нуля. Это и есть нелинейный эффект. Все варианты самоорганизации в живой и неживой природе — тоже результат нелинейности. Можно сказать, что эволюция -очень длинная цепь нелинейных эффектов.