Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что ( ¹/ ₂) = 0, откуда легко следует, что  =  ¹/ ₂ -  для всех значений от минус бесконечности до  =  ¹/ ₂и  = 0 для всех аргументов далее на восток — ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения ,когда лежит строго между 0 и 1. ГЛ — величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.

Рисунок П10.Гипотеза Линделёфа.

Строка 24.Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.

Строка 31.«А ТРПЧ можно все улучшать» — т.е. получить наилучшее возможное выражение типа большого для остаточного члена.

Строка 32.При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа  aдо какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура — т.е. прямой или кривой линии — в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование. [220]Контурное интегрирование — одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.

Строка 33.«Вейль обратился к предмету…».В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.

Строка 34.« Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.

Строка 35.Мы определили характеристикуполя в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.

Строка 36.«… теорема верна».Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.

Строка 40.Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.

В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck.Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T.означает random matrix theory— теорию случайных матриц.