Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Проработав с данными (data) всю свою сознательную жизнь, я неплохо себе представляю, что это такое. Это особое «тело» или даже субстанция, состоящая из неисчислимых маленьких частичек, неотличимых одна от другой — подобно рису, песку или траве. Применительно к субстанциям и телам такого типа в английском языке надо употреблять глаголы в единственном числе («рис сварился») или же использовать счетные слова. Если вы желаете ухватить одну частичку и рассматривать именно ее, требуется счетное слово: «зернышко риса», «элемент данных». Именно так, кстати, инстинктивно и говорят люди, которые зарабатывают себе на жизнь обработкой данных. Среди людей, содержание работы которых — данные, никто никогда не скажет «One datum, two data». [45]Если бы они сказали такое, их никто бы не понял. И однако же грамматисты хотят, чтобы мы говорили «The data are…» Мое предсказание состоит в том, что они в конце концов проиграют бой. [46]

В качестве последнего примера приведу тот, который озадачивал меня в школьные годы, прошедшие под знаком англиканской церкви: рассмотрим те три дня, которые Иисус Христос пролежал в могиле перед тем, как воскреснуть в согласии со своим собственным пророчеством: «После трех дней воскресну». Трех дней? Он был распят в пятницу — Страстную пятницу. Воскресение состоялось в воскресенье. Это составляет 48 часов, если измерять, но, разумеется, три дня (пятница, суббота, воскресенье), если считать, как и поступали те эллинизированные интеллектуалы, которые составили Новый Завет. [47]

III.

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Гипотеза Римана родилась из столкновения, названного в заглавии данной главы великим соединением, между логикой подсчета и логикой измерения. Выражаясь точным математическим языком, она возникла, когда некоторые идеи из арифметикибыли скомбинированы с некоторыми идеями из анализаи образовалась новая штука, новая ветвь на древе математики — аналитическая теория чисел.

Вспомним традиционные категории математики, о которых мы говорили в главе 1.viii.

1.  Арифметика— наука о целых числах и дробях.

2.  Геометрия— наука о фигурах в пространстве.

3.  Алгебра— использование абстрактных символов для представления математических объектов (чисел, линий, матриц, преобразований) и изучение правил, по которым эти символы можно комбинировать.

4.  Анализ— наука о пределах.

Эта четырехчленная схема закрепилась в людских головах около 1800 года, а великое соединение, которое я собираюсь описать в данной главе, было соединением идей, до 1837 года существовавших каждая сама по себе под двумя из приведенных вывесок — арифметики и анализа. Это соединение создало такую дисциплину, как аналитическая теория чисел.

Сегодня мы достаточно искушены в подобных взлетах воображения, и они, возможно, чуть лучше нам удаются. В действительности на сегодняшний день наряду с аналитической теорией чисел существуют алгебраическая теория чисел и геометрическая теория чисел. (Мы дойдем до некоторых элементов алгебраической теории чисел в главе 20.v.) Но в 30-х годах XIX столетия соединение концепций из двух областей, до того считавшихся не связанными друг с другом, несколько ошарашивало. Однако, прежде чем можно будет познакомить вас с главным действующим лицом в этой части нашей истории, надо сказать еще кое-что о тех двух дисциплинах, которые он друг с другом соединил.

IV.

В то время, о котором у нас идет речь, — в начале XIX столетия — анализ оставался самой новой и самой привлекательной частью математики, где совершались великие достижения и где работали самые проницательные умы. К концу столетия об арифметике, геометрии и алгебре было известно больше, чем в начале, но об анализе — намногобольше. В самом же начале того столетия основную концепцию анализа — концепцию предела — ясно не представляли себе и лучшие умы. Если бы вы спросили Эйлера или даже молодого Гаусса, о чем идет речь в анализе, они сказали бы: «О бесконечном и инфинитезимальном». Но если бы вы вслед за тем спросили Эйлера, а что же в точности означает «бесконечное», он бы разразился приступом кашля и ушел из комнаты или же развернул дискуссию о значении слова «означает».

Анализ на самом деле ведет свое начало от изобретения дифференциального и интегрального исчисления Ньютоном и Лейбницем в 70-х годах XVII века. Без сомнения, идея предела— идея, разграничивающая анализ и остальную математику, — имеет фундаментальное значение для дифференциального и интегрального исчисления. Если вы хоть раз сидели в аудитории на лекции по математическому анализу, то у вас, возможно, остались смутные воспоминания о графике, на котором изображены кривая и пересекающая ее в двух точках прямая. «А теперь, — говорит лектор, — если вы будете сдвигать эти точки все ближе друг к другу, то в пределе…» — а остальное вы позабыли.