Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).

Рисунок 7.2.Наклон.

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln  xнаклон при аргументе x= 10, если вы его измерите, равен ¹/ ₁₀. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает ¹/ ₂₀. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает ¹/ ₅. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе xее наклон равен 1/ x— числу, обратному x(обозначаемому еще как x ^-1).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции fможно произвести другую функцию g, которая выражает наклон функции fпри любом ее аргументе. Если f— это ln  x, то g— это 1/ x. Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f. Например, 1/ x— это производная функции ln  x. Если вам дали какую-то функцию f, то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f— это g,то производная функции 7 f —это 7 g.(Так что производная от 7•ln  xравна 7/ x.) Производная суммы f + g —это производная функции fплюс производная функции g.Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения fи g неравна произведению производной функции fна производную функции g. [58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции x ^N. Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа Nпроизводная функции x ^Nесть функция Nx ^N-1.Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Функция	Производная
x-3	-3 x -4
x-2	-2 x -3
x-1	- x -2
x0	0
x1	1
x2	2 x
x3	3 x 2

Таблица 7.1.Производные функций x ^N.

Конечно, x ⁰— это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x ¹— это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x ^-1, хотя x ⁰вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln  xесть как раз x ^-1. Это еще одно свидетельство того, что ln  xкак будто пытается выдать себя за x ⁰.

VII.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение Pчерез Q, то как выразить Qчерез P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = e ^b, тот как найти bчерез a? Как ln  а.

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию fи получили функцию g.То есть gпредставляет собой производную функции f.А fпредставляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln  x— это 1/ x, так что ln  x— это… (что?) функции 1/ x? Ответ:  интеграл,вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только Nне равно -1, то интеграл от функции x ^Nравен x ^N+1 /(N + 1 ).(Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln  xизо всех сил старается вести себя как функция x ⁰, каковой она, конечно, не является).

Функция	Интеграл
x-3	- 1/ 2 x -2
x-2	- x -1
x-1	ln  x
x0	x
x1	1/ 2x2
x2	1/ 3x3
x3	1/ 4x4

Таблица 7.2.Интегралы функций x ^N.

Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в данной точке, — то для чего же годятся интегралы? Ответ: для нахождения площадей под графиками.

Рисунок 7.3.Для чего пригодно интегрирование.