Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции (s)для любого числа sза единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает (1  - s)через (s); если вы знаете, как посчитать (16), то вы можете тогда вычислить (-15); если вам известна (4), то вы можете вычислить (-3); если вам известна (1,2), то вы можете выделить (-0,2); если вам известна (0,6), то вы можете вычислить (0,4); если вам известна (0,50001), то вы можете вычислить (0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между (1  - s)и (s), потому что если s = ¹/ ₂, то 1 -  s =  s. Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4и рисунков с 9.3по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента ¹/ ₂. И тем не менее ее значения при аргументах слева от ¹/ ₂связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: (s)равна нулю всегда, когда s— отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

-2, -4, -6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

VII.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2)два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

1/(1 - 

x) = 1 + x+ x ²+ x ³+ x ⁴+ x ⁵+ x ⁶+ …

Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/ xравен ln  x, я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 -  x) равен -ln(1 -  x). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

-ln(1 - 

x) = x+ x ²/2 + x ³/3 + x ⁴/4 + x ⁵/5 + x ⁶/6 +….

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на -1:

ln(1 - 

x) = - x- x ²/2 - x ³/3 - x ⁴/4 - x ⁵/5 - x ⁶/6 - … (9.3)

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3)верно при x = -1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x= -1 выражение (9.3)дает следующий результат:

ln 2 = 1 -

¹/ ₂+ ¹/ ₃- ¹/ ₄+ ¹/ ₅- ¹/ ₆+ ¹/ ₇- … (9.4)

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4)несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке.Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись! [76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 - ¹/ ₂- ¹/ ₄+ ¹/ ₃- ¹/ ₆- ¹/ ₈+ ¹/ ₅- ¹/ ₁₀- …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 - ¹/ ₂) - ¹/ ₄+ ( ¹/ ₃- ¹/ ₆) - ¹/ ₈+ ( ¹/ ₅- ¹/ ₁₀) - …, т.е. ¹/ ₂(1 - ¹/ ₂+ ¹/ ₃- ¹/ ₄+ ¹/ ₅- …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда! [77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Глава 10. Доказательство и поворотная точка

I.