Простая одержимость

Любезное сообщение о ваших наблюдениях по поводу частоты появления простых чисел заинтересовало меня более, чем просто упоминание. Оно напомнило мне мои собственные изыскания по тому же предмету, начало которым было положено в далеком прошлом, в 1792 или 1793 году. <…> Одна из первых вещей, которые я сделал, состояла в том, что, обратив внимание на уменьшающуюся частоту, с которой появляются простые числа, я их вычислил в нескольких группах из тысячи чисел и бегло набросал результаты, листок с которыми прилагаю к письму. Я вскоре осознал, что при всех своих флуктуациях эта частота в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму… (Курсив мой. — Дж. Д.) С тех пор я время от времени (поскольку мне недостает терпения, чтобы последовательно посчитать весь интервал) уделяю свободные четверть часа, чтобы то тут, то там пересчитать еще один отрезок длиной в тысячу; но в конце концов я забросил это дело, не добравшись толком и до миллиона.

Итак, начиная с 1792 года — когда ему было лишь 15 лет! — Гаусс забавлялся пересчетом всех простых чисел в интервале из 1000 чисел за раз и довел эти вычисления до сотен тысяч («не добравшись толком и до миллиона»). Чтобы представить себе, усилия какого порядка здесь требуются, я задался целью извлечь все простые числа из отрезка в тысячу чисел от 700 001 до 701 000, пользуясь при этом лишь теми средствами, которые могли быть доступны Гауссу, — карандашом, несколькими листами бумаги и списком простых чисел до 829 — именно такие простые требуются в процессе поиска простых среди чисел до 701 000.[25] Сознаюсь, что я бросил это занятие через час, когда я провел вычисления с простыми делителями до 47 — что означает, что мне оставалось еще 130 простых делителей. Я приглашаю вас самостоятельно попробовать такое упражнение. Это и были гауссовы «свободные четверть часа» (unbeschäftigte Viertelstunde).

Предложение, выделенное курсивом в отрывке из письма, которое Гаусс написал Энке, и составляет один из двух связанных с ТРПЧ результатов, обсуждавшихся в главе 3.ix. Как там было замечено, это утверждение эквивалентно самой ТРПЧ. Нет никаких сомнений в том, что Гаусс действительно работал над этим в начале 1790-х годов. Его заявлениям было найдено документальное подтверждение, так же как и другим заявлениям того же типа. Он просто не трудился публиковать свои результаты.

IV.

Любопытно, что первая опубликованная работа, относящаяся к ТРПЧ, принадлежит тому самому Адриену-Мари Лежандру, которого так возмутило заявление Гаусса об открытии им метода наименьших квадратов. В 1798 году — через пять или шесть лет после того, как Гаусс докопался до формулировки ТРПЧ, но не предоставил свои результаты в распоряжение человечества, — Лежандр опубликовал книгу, озаглавленную «Очерки о теории чисел», в которой он на основе своих собственных подсчетов числа простых чисел высказал предположение, что

для некоторых чисел A и B, которые «подлежат определению». В более позднем издании своей книги он уточнил это предположение (доказать которое он не смог) таким образом:

где A при больших значениях x стремится к некоторому числу, близкому к 1,08366. Гаусс обсуждает предположения Лежандра в своем письме к Энке в 1849 году он отвергает значение 1,08366, но не приходит ни к каким другим определенным выводам.

Нет сомнений, что если бы несчастный Лежандр прочитал письмо Гаусса к Энке, то оно вызвало бы у него еще один приступ гнева. По счастью, он скончался за несколько лет до того, как это письмо было написано.[26]

V.