Простая одержимость

Рисунок 1.3.

За край у нас выдвинута одна шестая третьей карты, одна шестая плюс одна четверть второй карты, а также одна шестая плюс одна четверть плюс одна вторая верхней карты, что в сумме дает полторы карты:

¹/₆ + (¹/₆ + ¹/₄) + (¹/₆ + ¹/₄ + ¹/₂) = 1¹/₂.

Это половина от длины трех карт; вторая половина находится за точкой опрокидывания. На рисунке 1.4 изображено, что у нас получилось после максимально возможного сдвига третьей карты.

Рисунок 1.4.

Полное нависание теперь составляет одну вторую (за счет верхней карты) плюс одна четверть (за счет второй карты) плюс одна шестая (за счет третьей). Всего — одиннадцать двенадцатых длины карты. Потрясающе!

Можно ли добиться нависания, превышающего длину одной карты? Да, можно. Прямо следующая карта — четвертая сверху — при осторожном сдвигании добавит к нависанию одну восьмую длины карты. Я не буду проделывать все эти арифметические выкладки — или поверьте мне, или сделайте их сами, подобно тому как мы это только что сделали для трех первых карт. Вот чему равно полное нависание с четырьмя картами: одна вторая плюс одна четверть плюс одна шестая плюс одна восьмая — все вместе одна и одна двадцать четвертая длины карты (см. рисунок 1.5).

Рисунок 1.5.

Если продолжать действовать в том же духе и целиком использовать всю колоду, то за счет пятидесяти одной карты накопится нависание, равное

¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₆ + ¹/₈ + ¹/₁₀ + ¹/₁₂ + ¹/₁₄ + ¹/₁₆ + … + ¹/₁₀₂

(самую нижнюю карту сдвигать бессмысленно). Такая сумма на самую толику меньше, чем 2,25940659073334. Таким образом, мы добились полного нависания более чем в две с четвертью длины! (Рис. 1.6.)

Рисунок 1.6.

Я был студентом, когда узнал про это. Дело было в летние каникулы, и я занимался подготовкой к следующему семестру, пытаясь несколько опередить программу. Свой вклад в оплату обучения я вносил, нанимаясь на время каникул рабочим на стройки — в Англии в те времена профсоюзы не сильно контролировали этот сектор. На следующий день после того, как я узнал про фокус с картами, мне предстояло в одиночку прибраться во внутренней части строящегося здания, где пачками хранились сотни больших квадратных потолочных панелей. Часа два я с забавлялся со стопкой из 52 панелей, пытаясь добиться нависания в две с четвертью панели. Проходивший мимо прораб застал меня глубоко погруженным в созерцание гигантской колышущейся башни, составленной из потолочных панелей, и он, я думаю, утвердился в своих худших подозрениях относительно целесообразности найма студентов.

II.

Есть одна вещь, которую очень любят делать математики и которая оказывается очень плодотворной, — это экстраполировать, т.е. брать конкретную задачу и распространять ее выводы на более широкую область.

В нашей конкретной задаче у нас было 52 карты. Оказалось, что полное нависание составило более чем две с четвертью карты.

Но почему 52 карты? А если бы было больше? Сотня? Миллион? Триллион? А предположим, что у нас имелся бы неограниченный запас карт — какого максимального нависания мы смогли бы тогда добиться?

Сначала взглянем на нашу постепенно растущую формулу. При 52 картах полное нависание составило

¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₆ + ¹/₈ + ¹/₁₀ + ¹/₁₂ + ¹/₁₄ + ¹/₁₆ + … + ¹/₁₀₂.

Поскольку все знаменатели здесь четные, можно вынести одну вторую за скобки и переписать в виде

¹/₂∙(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/₅₁).

Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы

¹/₂∙(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/₉₉).

Имея в распоряжении триллион карт, мы добились бы нависания величиной в

¹/₂∙(1 + ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈ + … + ¹/_999999999999).

Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.

Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.