Простые числа

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Даже после того как Кардано в начале XVIII в. сделал первые расчеты с использованием мнимых чисел, математики старались избегать их, поскольку в их существовании они всерьез сомневались. Математики такого масштаба, как Эйлер, Валлис и Д'Аламбер, использовали их с разной степенью успеха. Комплексные числа начали применяться при определенных условиях, например, на промежуточных стадиях некоторых доказательств. Гаусс был одним из первых, кто свободно обращался с ними и даже нашел способ их изображения, но лишь в XIX в. они окончательно утвердились в математике, когда Риман ввел сложные функции f(x), в которых переменная х представляла собой комплексное число.

* * *

Отложим два единичных отрезка вправо по оси ОХ и один — вверх по оси OY.

Мы можем посчитать расстояние ОА по теореме Пифагора, (ОА)² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5, следовательно, ОА = √5. Это число называется модулем комплексного числа.

Геометрическое представление комплексных чисел было большим шагом вперед.

Теперь их можно было использовать в математическом анализе функций комплексного переменного.

Дополнительное измерение

Глаз специалиста может увидеть дополнительную информацию в графическом представлении функции. На самом деле эти графики можно рассматривать как произведения искусства. Лорд Кельвин однажды сказал: «Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает все, что может услышать ухо.

Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики».

Мы уже видели в третьей главе, что можно определить функции, которые каждому действительному числу ставят в соответствие другое действительное число. Аналогично мы можем определить функции, которые действительное число ставят в соответствие паре действительных чисел.

Например:

(х, у) — > х² + у².

Соответствующая таблица будет выглядеть так:

Чтобы изобразить график такой функции, мы должны взять трехмерное пространство, в котором, например, точка (1, 2, 5) находится от точки плоскости (1, 2) на расстоянии пяти единичных отрезков вдоль третьей оси (OZ), перпендикулярной к плоскости OXY

И функция f(х, у) = х² + у² будет представлена следующим образом:

В XIX в. теория функций продвинулась достаточно далеко, чтобы работать с такими графиками. Однако возникла новая задача: как использовать комплексные числа в качестве переменных? Этот шаг имел решающее значение для теории простых чисел.

Гаусс уже использовал функции комплексного переменного, изображая их в трехмерном пространстве. Как мы увидим в следующей главе, Риман пошел еще дальше и определил комплексные функции комплексного переменного. В пространственных графиках, которые мы видели до сих пор, два числа соответствовали третьему. Точка на плоскости порождала образ вдоль третьей оси, что требует трехмерного пространства. Предположим теперь, что образом точки с двумя координатами будет также точка с двумя координатами. Другими словами, нам нужно еще одно измерение для построения графика такой функции, то есть нам нужно четырехмерное пространство. Визуализация объектов в четырех измерениях возможна лишь в научной фантастике. Таким образом, у нас нет выбора, кроме как использовать некоторые трюки, чтобы получить представление о форме графика рассматриваемой функции.

Одной из возможностей является изучение проекций на трехмерное пространство аналогично изучению тени. Чтобы понять эту аналогию, представим себе, что мы живем в двумерном пространстве, то есть мы совершенно плоские, и мы пытаемся определить форму трехмерного объекта. Проекцией объекта на плоскость является его тень при освещении прожектором. Возможно, одной тени недостаточно, и нам потребуются еще две или три проекции. Например, цилиндр, подвешенный в воздухе внутри помещения, отбрасывает тень в виде прямоугольника на одну из стен: это может дать нам неправильное представление о его форме. Мы можем подумать, что это прямоугольный параллелепипед, который будет отбрасывать такую же тень. Однако если мы посмотрим на тень на полу, то увидим, что она имеет форму круга. Тогда мы поймем, что объект является цилиндром. Проблема заключается в том, что, будучи двумерными существами, мы никогда не сможем увидеть трехмерный цилиндр.