Против богов. Укрощение риска

Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно¹⁴.

Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в одном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33 %, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повторения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероятность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/₉, то есть квадрату одного шанса из трех, или ¹/₃, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/₂₇, или ¹/₃ x ¹/₃ x ¹/₃, а вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна ¹/₃ в четвертой степени.

Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция подсказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достигнут 67 %. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти, или 55,6 %. Действительно, при выбрасывании двух костей есть один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпадет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть 1/9 из 67 %, предсказанных нами на основе интуиции. Отсюда 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9.

Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению законов о шансах, которое превращает экспериментальный результат в теорию.

Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3 на второй.

Число возможных комбинаций, образующих совокупность – общее число возможных исходов, – оказывается значительно большим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепе дает полезную иллюстрацию важности комбинаций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «змеиных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5 и 1 + 6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбинаций – 5 и 2, 4 и 3, 1 и 6. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей – от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепе повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу:

В триктрак, другой игре, в которой игроки бросают две кости, числа на каждой кости могут или складываться, или рассматриваться порознь. Это значит, что, если, например, брошены две кости, 5 может получиться пятнадцатью разными путями:

Вероятность выбросить пятерку равна 15/36 или 42 %¹⁵.

Здесь важна семантика. По определению Кардано, вероятность некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Шансы (odds) некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к числу неблагоприятных исходов. Шансы, разумеется, зависят от вероятности, и их удобнее использовать при заключении пари.