Психология процесса изобретения в математике

Случай Пойа мне кажется совершенно исключительным (я встречал ещё лишь один такой случай среди тех, кто мне ответил) 81. Но даже Пойа не использует слов как эквивалентов идеям, так как он использует одно-единственное слово или одну-две буквы, чтобы символизировать всю линию мысли; его психологический процесс перекликается с заявлением Стенли 82: «Если речь играет роль указателя (индикатора), то она может это делать, лишь внушая нашему сознанию предмет, мысль или чувство, хотя практически этот предмет может появляться в наиболее обобщённой и наименее осознанной форме».

Мысленные образы математиков, от которых я получил ответы, чаще всего бывают зрительными, но они могут быть также и другого типа, например, двигательными. Могут быть и слуховые образы; но даже в этом случае, как это показывает пример Джесси Дугласа, они сохраняют свой неопределённый характер 83. Для Купмана «образы имеют скорее символическую, чем изобразительную связь с рассматриваемыми математическими идеями» — заявление, аналогичность которого со сказанным выше очевидна. Наблюдения профессора Купмана сходны с моими и в том, что такие образы возникают в полном сознании, тогда как соответствующие рассуждения временно остаются в «прихожей».

То же самое мы можем сказать и о наблюдениях Рибо 84, собранных им во время опроса математиков. Некоторые из них говорили, что думают чисто алгебраическим образом, с помощью знаков; другие всегда нуждаются в «геометрическом представлении», «построении», даже если они его рассматривают как простую «фикцию».

Некоторые идеи Декарта

В «Правилах для руководства ума», где во второй половине (начиная с 14-го правила) исследуется роль воображения в науке, Декарт как будто имеет в виду процессы, аналогичные тем, о которых мы говорили. По крайней мере, это можно заключить на основании анализа «Правил», сделанного П. Бутру 85. Например, по Бутру, Декарт считает, что «воображение само по себе неспособно создать науку… Тем не менее…, мы должны в некоторых случаях прибегать к нему. Прежде всего, фиксируя его на объекте, который мы хотим рассмотреть, мы ему помешаем запутаться или стеснять нас; затем, и что особенно важно, оно может пробудить в нас некоторые идеи». Далее: «Воображение будет особенно полезно, когда нужно решить задачу не посредством одной простой дедукции, но с помощью нескольких, не связанных между собой, результаты которых нужно сперва полностью перечислить, а затем согласовать. В самом деле, при этом нам более чем когда-либо будет необходима память в той или другой форме, чтобы помочь нам пересмотреть и связать уже полученные различные элементы доказательства, с тем чтобы вынести из них искомое общее решение; нам она будет необходима также для того, чтобы сохранить исходные данные задачи, если мы не воспользовались вначале всеми этими данными: мы могли бы их забыть, если бы не сохраняли постоянно в голове образа предмета, о котором мы рассуждаем, образа, который предоставляет их нам в любой момент».

Это та же роль образов, о которой мы говорили выше. Но Декарт не доверяет этому вмешательству воображения и желает полностью исключить его из науки. Он даже упрекает древнюю геометрию за его использование. Он хочет исключить воображение из всех отраслей науки, сводя их все к математике (что он безуспешно пытался сделать), так как математика более чем всякая другая наука состоит из абстракций.

Чтобы понять, как мы должны расценивать такую идею, мы должны лишь вспомнить, как эта программа Декарта применяется современными математиками. Прежде всего, как хорошо известно, геометрия может быть полностью сведена к числовым комбинациям с помощью аналитической геометрии, созданной самим Декартом. Но, с другой стороны, мы только что видели, что рассуждения в области теории чисел, по крайней мере для многих математиков, чаще всего могут сопровождаться образами.

Недавно знаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии, которые, рассуждая логически, были освобождены от всякого обращения к интуиции. Начало этой работы стало теперь классическим для математиков: «Рассмотрим три системы предметов. Мы назовём точками предметы, составляющие первую систему; прямыми — составляющие вторую, и плоскостями — третью»; эта редакция ясно означает, что мы не должны никоим образом задаваться вопросом, что могут представлять из себя эти «предметы».