Психология процесса изобретения в математике

Такую тенденциозную интерпретацию фактов находишь всякий раз, когда в игру вступают националистические и расистские страсти. В начале первой мировой войны один из наших самых крупных учёных и историков науки физик Дюгем был точно так же, как и Клейн, сбит с толку, но в противоположном смысле. В достаточно подробной статье 108 он изображает немецких учёных, особенно математиков, как людей, лишённых интуиции или даже как сознательно её отметающих. Особенно трудно понять, как он может так характеризовать Римана, который несомненно является одним из наиболее типичных примеров интуитивного ума. Утверждение Дюгема в 1915 г. мне кажется столь же необоснованным, как и утверждение Клейна в 1893 г. Если бы тот или другой был прав, то из всего сказанного читатель сделал бы вывод, что либо французы, либо немцы никогда не делали важных открытий. Единственная тенденция, в которой я мог бы 101  упрекнуть с этой точки зрения немецкую математическую школу, состоит в систематических попытках — мало обоснованных и несколько педантичных (особенно под влиянием Клейна) — утверждать, что в некоторых доказательствах анализа и в его арифметических приложениях предпочтительнее употреблять ряды, чем интегралы. Как раз в этих вопросах использование рядов кажется более логичным и использование интегралов более интуитивным. В этой тенденции проявляется, может быть, ещё некоторый национализм, так как ряды использовались знаменитым Вейерштрассом — совершенно очевидным представителем логических умов, — репутация которого и влияние на немецких учёных были огромны, в то время как Коши и Эрмит в аналогичных случаях вводили интегралы 109 (что делал, впрочем, и Риман).

Точка зрения Пуанкаре на это различие

Пуанкаре — более мудро, я полагаю — не переводит вопрос в политический план. Напротив, он показывает, насколько сомнительна эта точка зрения и, чтобы проиллюстрировать противоположность этих двух видов умов, он сравнивает между собой двух французов, а затем двух немцев.

Я был полностью согласен с идеями Пуанкаре на протяжении первых пяти глав, но на этот раз я с ним разойдусь во взглядах. На стр. 101 мы цитировали первую фразу его доклада, воспроизведём теперь вторую.

«Отнюдь не обсуждаемый ими вопрос заставляет их использовать тот или другой метод. Если часто об одних говорят, что они аналитики , а других называют геометрами , то это не мешает тому, что первые остаются аналитиками, даже когда занимаются вопросами геометрии, в то время как другие являются геометрами, даже если занимаются чистым анализом. Сама природа их ума делает их «логиками» или «интуитивистами» и они не могут переродиться, когда принимаются за новую тему».

Что мы должны думать, сравнивая эти два абзаца? Дважды было подчёркнуто различие между интуицией и логикой, но на совершенно различных, хотя и имеющих друг к другу некоторое отношение, основаниях.

Это становится ещё более очевидным при рассмотрении примеров, данных Пуанкаре. Жозефу Бертрану, который совершенно очевидно имеет конкретные пространственные представления по всем вопросам, он противопоставляет Эрмита, чьи глаза «кажутся лишёнными контакта с миром» и который ищет «видение истины изнутри, а не снаружи» (там же).

Конечно, Эрмит не имел привычки думать конкретно. Он испытывал своего рода ненависть к геометрии и однажды, как ни странно, упрекнул меня в том, что я опубликовал мемуар по геометрии. Естественно, его собственные работы по конкретным вопросам редки и не относятся к числу его самых замечательных. Таким образом, в соответствии со вторым заявлением Пуанкаре Эрмит должен рассматриваться как математик с логическим складом ума.