Пуанкаре

Поле боя осталось за Пуанкаре. До 1884 года он опубликовал пять больших работ о новых функциях и соответствующих им группах. Когда настало время дать имя новооткрытым берегам математического континента, Пуанкаре недолго колебался. Группы и функции, на возможность существования которых первым обратил внимание Клейн, названы им клейновыми. Недвусмысленный вызов тем из его соотечественников, кто незадолго до этого возмущался названием «фуксовы функции». Клейн неправильно истолковал этот жест французского коллеги, и по ответному письму Пуанкаре от 4 апреля 1882 года чувствуется, как он неприятно задет таким совершенным (в некотором роде даже оскорбительным) непониманием его лучших побуждений. «Если я дал ваше имя клейновым функциям, то это по причинам, которые я привел, а не по тем, на которые вы намекаете (zur Entschädigung[13]), так как мне нечего вам компенсировать… Я надеюсь, что наша борьба, оружием в которой является вежливость и которой мы предались только лишь из-за имени, не изменит наших добрых отношений. Было бы смешно к тому же дискутировать все время из-за имени, „имя — только дым и звук“.[14] А после всего этого мне безразлично, поступайте, как вы находите нужным, я буду делать, со своей стороны, как мне желательно…» Видно, что Пуанкаре уже отчаялся в своих попытках убедить самого Клейна и представителей его школы в обоснованности даваемых им имен. Названия эти так и не привились. В современных математических трудах уже не встретишь термин «фуксовы функции». Присоединяясь к мнению Клейна, ученые называют их автоморфными функциями.

Возвращение в Париж

Почти два года провел Анри в Кане. Этот период оказался весьма важным, если не решающим, для его последующей судьбы. Именно здесь произошли те свершения, которые на долгие годы определили его жизнь и научную деятельность. Дебют молодого математика был весьма впечатляющим. В нем уже чувствовалась заявка на свое творческое кредо, на свой, индивидуальный стиль научного мышления. Развитый им подход оценивали впоследствии как «дерзкий поступок двадцатисемилетнего ученого, осмелившегося порвать с полувековой традицией».

Теория фуксовых функций, как продукт тесного переплетения и взаимопроникновения самых различных идей и методов, родилась на перекрестке ведущих математических теорий прошлого столетия: теории дифференциальных уравнений, теории инвариантов, неевклидовой геометрии, теории групп, теории эллиптических функций. Вчерашний студент, перешагнув через переходный этап, сразу же явил ученому миру зрелость вполне сложившегося таланта, с широким кругозором и необычайным многообразием своих внутренних возможностей. Не имеет даже смысла говорить о «раннем Пуанкаре», такого Пуанкаре попросту не было, не было периода первоначальных исканий и ученичества, который принято называть «порой надежд». От самого порога Горной школы он вышел на уровень лучших математиков своего времени.

Фуксовы функции составили первую главу в научном наследии знаменитого ученого. «Именно этой первой главе и суждено было несколько десятилетий спустя первой достичь того состояния, когда о математической теории начинают говорить, что она уже „стала классической“», — пишет Г. Фрейденталь. Эллиптические функции, считавшиеся до этого одним из прекраснейших достижений математики XIX века, оказались теперь частным случаем фуксовых функций, созданных в результате грандиозного обобщения, предпринятого Пуанкаре. Открытие этих функций позволило решить одну из важнейших проблем математического естествознания — интегрирование линейных дифференциальных уравнений с алгебраическими коэффициентами. С этой целью Пуанкаре и начал свои исследования. Однако значение фуксовых, ныне автоморфных, функций выходит далеко за рамки этого приложения.

Почти сразу же выяснилось, что применение их в теории алгебраических форм сулит многообещающие возможности. К этой мысли пришел сам Пуанкаре. Вот как он рассказывает об этом: «Я занимался изучением некоторых вопросов арифметики без особого успеха, не подозревая, что предмет моих исследований может иметь какую-то связь с моими прежними работами (по теории фуксовых функций). Разочарованный своими неудачами, я решил провести несколько дней на побережье и поразмыслить о совсем других вещах. Однажды, когда я прогуливался по обрывистому берегу, мне пришла в голову идея, столь же краткая, сколь неожиданная и вполне определенная, что арифметические преобразования неопределенных тернарных квадратических форм должны быть тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Вернувшись в Кан, я тщательно обдумал эту идею и попытался вывести из нее некоторые следствия».