Пуанкаре

Разочарование было столь велико, что тот первоначальный энтузиазм, с которым астрономы ревностно пропагандировали новые ряды, мгновенно угас. Именно это имел в виду Вейерштрасс, когда в письме к Ковалевской подчеркивал, что «достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных, а не в положительных результатах». Об этом же он пишет Миттаг-Леффлеру, указывая, что астрономов эта работа «не очень-то ободрит, так как уничтожает некоторые их давнишние иллюзии и опровергает многое из того, что казалось им прежде обоснованным. Например, доказывается расходимость рядов, к которым приводят методы Ньюкома, Линдстедта и других».

Однако обескураживающим выводам Пуанкаре кое-что противоречило. Почему применение этих непригодных рядов почти всегда приводит к хорошему совпадению теоретических расчетов с непосредственными астрономическими наблюдениями? Пуанкаре сумел разгадать и этот парадокс. Оказывается, эти расходящиеся ряды обладают весьма замечательным свойством: слагаемые их сначала очень быстро убывают, а затем начинают медленно возрастать. Астрономы при своих практических расчетах ограничивались лишь суммой некоторого числа первых членов. Вся их работа протекала на том начальном участке ряда, где он ведет себя как сходящийся. Именно поэтому теоретические результаты с весьма приемлемой точностью представляли реальное движение планет. Но если бы кому-то вздумалось прихватить еще некоторое количество слагаемых, чтобы повысить точность расчетов, он добился бы, к своему удивлению, прямо противоположного эффекта. С увеличением числа суммируемых членов ряда несовпадение теоретических результатов с данными наблюдений только усугубилось бы. Ведь после первых уточняющих членов следует расходящийся бесконечный «хвост» ряда.

Так Пуанкаре вскрыл истинную сущность основных рабочих методов небесной механики, дал совершенно новое видение применяемых в ней математических средств. Он развенчал широко использовавшиеся астрономами ряды, которые казались некоторым истиной в последней инстанции. Но это не было бесплодным отрицанием, обрекающим их на забвение. Пуанкаре оправдал применение этих рядов в определенных пределах и указал те границы, в которых они дают верные результаты. По существу, он дал еще одно толкование понятия «решение» дифференциального уравнения, еще один его вариант — интегрируемость расходящимися рядами. С этой целью Пуанкаре четко разграничивает два различных понимания термина «сходимость». Чистые математики говорят, что ряд сходится и может служить решением дифференциального уравнения, если сумма его членов стремится в пределе к какой-то конечной величине. При этом их совершенно не волнует то обстоятельство, что первые слагаемые могут убывать чрезвычайно медленно и при практических расчетах с такими рядами получается чересчур низкая, никого не устраивающая точность. Астрономы же будут считать ряд сходящимся и пригодным для решения своих задач, если взятые подряд его первые члены, скажем, в количестве двадцати, быстро убывают, пусть даже все следующие после них слагаемые неограниченно возрастают. Обе точки зрения законны, считает Пуанкаре, одна в сугубо математических исследованиях, другая — в прикладных численных расчетах. Но второй подход давал право на плодотворную жизнь расходящимся бесконечным рядам, которые до этого считались практически совершенно бесполезными.

Именно после работ Пуанкаре интерес к расходящимся рядам настолько возрос, что в 1898 году Парижская академия объявила конкурс на тему «Исследование возрастающей роли расходящихся рядов в анализе». Большим призом был отмечен мемуар молодого, только что завоевавшего известность математика Эмиля Бореля, которому предстояло в ближайшем будущем существенно продвинуть вперед теорию решения дифференциальных уравнений с помощью расходящихся рядов. На последних страницах книги мы еще встретимся с этим уже ставшим знаменитым математиком, который сыграет немаловажную роль в упрочении посмертной славы Анри Пуанкаре.

Таким образом, несмотря на расходимость рядов, ничто не мешало астрономам использовать их в своей практической работе. Нужно было только помнить о том, что точность решения, которое можно вычислить с их помощью, в принципе ограничена, и невозможно сколь угодно близко подходить к истинной предельной величине.

Периодические решения

Если Париж не веселится и не поет в свой традиционный июньский праздник — это самый верный признак его недовольства. Особенно мрачно и уныло выглядел в июньские дни 1893 года Латинский квартал. Не видно и тени всегдашнего безудержного веселья, захлестывавшего некогда его улицы. Пуанкаре с семьей по-прежнему обитает в этом районе столицы (теперь уже на улице Клода Бернара), оказавшись в центре последних трагических событий, взбудораживших весь город.