Пуанкаре

По замыслу Пуанкаре, заключительный том его «Новых методов» должен был резко отличаться от уже выходящего из печати второго тома, посвященного интегрированию дифференциальных уравнений рядами. В нем он снова возвращается к разработанным им ранее качественным методам исследования дифференциальных уравнений, применение которых в задачах небесной механики было продемонстрировано еще в отдельных главах первого тома.

Ровно десять лет назад, в 1883 году, молодой преподаватель Сорбонны Анри Пуанкаре, заинтересовавшись периодическими решениями дифференциальных уравнений, опубликовал по этому вопросу свои первые результаты. Никаких общих методов нахождения таких решений в небесной механике не было. В свое время Эйлер и Лагранж указали для задачи трех тел пять частных случаев, когда при особых начальных условиях движение принимает периодический характер. И вот теперь от единичных, разрозненных фактов Пуанкаре поднимается до глубоких теоретических обобщений. В первом томе его труда периодическим решениям и их применению в небесной механике посвящены две главы. В них заложена основа того, что и сейчас еще представляется астрономам-теоретикам весьма актуальным и многообещающим направлением в исследовании движений небесных тел. Еще большее значение имела эта теория для предсказания эволюции планетных орбит в солнечной системе.

Не случайно Пуанкаре придавал столь важное значение периодическим решениям, представляемым замкнутыми орбитами. По его замыслам, они должны были стать опорой в изучении всех других, непериодических движений. Вкратце идея его такова: если замкнутых, периодических орбит много и расположены они достаточно густо, то можно предугадать, как пройдут зажатые между ними кривые, соответствующие непериодическим движениям. Словно огненные линии, прочерчиваемые трассирующими очередями, периодические кривые разграничивают все пространство на простреливаемые, просматриваемые участки. «Что делает для нас эти решения столь ценными, — пишет сам Пуанкаре о периодических решениях, — это то, что они являются, так сказать, единственной брешью, через которую мы можем проникнуть в область, считавшуюся до сих пор совершенно недоступной». Поэтому так важно было научиться находить периодические решения, даже не имея возможности проинтегрировать дифференциальное уравнение, только по одному его внешнему виду. Типичная задача качественной теории дифференциальных уравнений.

Пуанкаре не только набрасывает схему использования периодических решений в небесной механике, но и разрабатывает методы ее практического претворения. Его метод малого параметра стал одним из наиболее действенных и незаменимых инструментов теоретического исследования. И не только в астрономии, но и во многих других областях механики и физики. Вслед за Эйлером и Лагранжем он находит много новых и интересных периодических решений для задачи трех тел. А практическую плодотворность своей идеи автор демонстрирует на примере некоторых малых планет типа Гекубы. Кстати, идея эта стала одной из наиболее привлекательных для Пуанкаре. На всем протяжении своего творческого пути он не раз возвращается к периодическим решениям, до самых последних дней стремится превратить их в универсальное орудие изучения всяких движений. И под конец книги мы снова встретимся с его работой, нацеленной на эту великую задачу небесной механики.

Большая часть третьего тома посвящена другой важной проблеме, к решению которой Пуанкаре тоже привлекает качественные методы. Это была проблема устойчивости движения небесных тел, вековая проблема, вот уже два столетия живо волновавшая многих выдающихся механиков и астрономов. Заинтересовавшись этим вопросом, Пуанкаре проводит кропотливое математическое исследование и приходит к выводу, что, даже если небесные координаты планет представляются сходящимся тригонометрическим рядом, это вовсе не доказывает устойчивости планетной системы. Проблема оказалась куда сложнее, чем предполагали астрономы. Наиболее обстоятельно автор «Новых методов» исследует частный случай задачи трех тел, когда одна масса во много раз меньше двух других. Почти любое движение оказалось при этом устойчивым в некотором смысле. К столь важному выводу Пуанкаре пришел с помощью нового, введенного им в третьем томе понятия — «интегрального инварианта». Так он назвал некоторые величины, выражаемые математически с помощью интегралов, которые остаются постоянными, неизменными при движении изучаемой системы тел. Физический смысл этих величин может быть порой весьма сложным или попросту не наглядным, но в качестве примера простейшего «интегрального инварианта» можно назвать объем некоторого количества несжимаемой жидкости. Величина его вычисляется с помощью интегралов и при любом течении жидкости остается постоянной, так как жидкость не сжимается и не расширяется.